浅谈两种特殊的矩形

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1、浅谈两种特殊的矩形doc浅谈两种特殊的矩形江苏省常州市新北区教研室力荣庆地址：江苏省常州市新北区衡山路8号337邮编:213022邮箱：.net手机:13915023603发稿:日期2008年5月投稿栏目:初中版矩形是初中数学和现实生活中最常见的图形，其性质有非常广泛的应用。英屮除」E方形外另有两类特殊的矩形一一“黄金”矩形和“实用”矩形，英特殊性质值得我们关注。1.“黄金”矩形1.1.什么是“黄金”矩形如图，1.3考虑矩形R,其边Kx、y,且x

2、果我们对R实施多次同样分割得R‘,R",,,,,那么这些矩形都为“黄金”矩形。如图1.lb有RsR，sR",，”1.2.为什么称Z为“黄金”矩形在上述图1.la中因为R，sR,所以有xyx=0.618y22xyx15ly,根据实际二〜1因为1(约等于0.618)是大家熟知的黄金数，也就是这时矩2形R中宽与反的比是大口然中最冇名的黄金数，故称该矩形为“黄金”矩形，这种矩形给我们的视觉较愉悦。1.1.“黄金”矩形的边与而积对于“黄金”矩形R,其边长x,y,且x

3、,()y,,,,2225112513514y,()y,()y,()y,,,,222251的等比数列。2上述是公比为黄金数它们而积依次为12132152172y,()y,()y,()y„„222212)的等比数列。2它是公比为黄金数平方(1.2.进一步延伸在图1.la中，若L和R相似，则R(两边长为x,y月)<丫=称2为“黄金”矩形，如果R'与R不相似呢？我们对此时R'也如同R—样分割处理，即对R'同样切掉一个小正方形后，又得到另一•个矩形R"，问什么条件下R"sr?我们进行如下分析:Rx情况①：如图1.4a切割处理,若R"sr图—a则xx=得x=0y2xy2卍III不合题意，舍去。情况②：

4、如图1.4b切削处理，若R〃sR则xy2x=即x2+2xy-y2=0xyFTx有x=(21)yB

5、Jy二(21)x情况③：如图1.4c切割处理，若R"sR则xyx=即2x2=y2y2xy图1.4bx•:y=2x情况④：如图1.4d切割处理，若R"sR则x2xy二x2+xy_y2二0yyx图1.4cR1x图1.4dx=故此时R为“黄金”矩形，不合题意，舍去。1.“实用”矩形2.1.什么是“实用”矩形如图2.la,考虑矩形R,其边长x,y且x

6、多次同样翻折，得R‘，R",,,,3FTRx图2.la则这些矩形都为“实用”矩形，如图2.lb,冇RsR，sR",,,,2.2.为什么称其为“实用”矩形x图2.lbyx在上述图2.la中，因为有R'sR,则=yx12：.x=y2,x=y（或y=2x）222A0A4A2A3A1图2.2这就是说这个矩形宽-与长的比为1:2。那到底为什么称Z为“实用”矩形呢？这与我们生活中使用纸张（包括每天看的报纸）有密切关系。我们平常用的复卬纸一般为A4纸（相应有16K纸）。将Z按图2.2相似扩大一倍成为A3纸（相应有8K纸），再同样相似扩人一倍成为A2纸（相应有4K纸），再同样扩大一倍称为A1纸（相应有2K

7、纸），再同样相似扩大一倍后称为A0纸，或原纸。如果将A4纸类似相似缩小一倍，则称为A5纸（相应有32K纸）。我们复印时，将M纸内容扩人复印成A3纸上时，总希望让这样扩人复印的纸张的宽与长没有剩余(没有浪费)，那么A4纸和A3纸宽与长的比必须保持一致，亦即相似扩大(或缩小)。若A4的宽与长分别为x,y,且xVy,那么把A4扩大一倍的A3的宽与长分别为y,2x,它们须满足：xy2=即y2=2x2x=y(或y=2x)y2x2这就表明如果矩形宽与长的比采用1:2的比值时，他们在保持4FTRfFT扩大(或缩小)复印小长宽没有剩余(没有浪费)，这是生活屮最实用的、最节约的。所以我们把宽与氏的比为1:2

8、的矩形称之为“实用”矩形或“节约”矩形。同样，我们生活中每天所看的报纸常常采用这种最实用的矩形形状。2.3.“实用”矩形的边长与血积对于“实用”矩形R,其边长为x,y,Kx