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1、两种特殊的随机过程两种特殊的随机过程高斯随机过程高斯随机过程高斯分布高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量独立、均匀细小的随机变量之和近似服从是高斯分布。•实际应用中最常遇到的、最重要的分布。高斯过程的特殊地位高斯过程的特殊地位•无线电技术理论中最重要的概率分布，如电阻热噪声、晶体管和电子管的散粒噪声；大气和宇宙噪声；许多积极干扰、消极干扰（云雨杂波、地物杂波）•噪声理论、信号检测理论、信息理论••高斯过程高斯过程——统计特性最简单统计特性最简单，常用作噪声的理论模型一、定义若随机过程X(t)的任意n维概率分布都是高斯分布高斯分布的，则称它为高斯过程或
2、正态过程高斯过程或正态过程。T−11⎡(X−M)C(X−M)⎤XXfX(x1,...,xn;t1...tn)=n/21/2exp⎢−⎥(2π)
3、C
4、⎣2⎦⎡E[X(t1)]⎤⎡mX(t1)⎤⎡C11C12...C1n⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥MX=⎢:⎥=⎢:⎥⎢C21C22...C2n⎥C=⎢⎣E[X(tn)]⎥⎦⎢⎣mX(tn)⎥⎦n×1⎢::...:⎥⎢⎥CC...C⎣n1n2nn⎦n×n高斯随机过程的高斯随机过程的nn维概率分布完全由维概率分布完全由均值矢量均值矢量M与与协方协方X差矩阵差矩阵CC所确定所确定二、高斯随机过程的性质11、宽平稳、宽平稳↔↔严平稳严平稳证
5、明：T−11⎡(X−M′)C′(X−M′)⎤XXf(x,...,x;t+ε,...,t+ε)=exp⎢−⎥X1n1nn/21/22(2π)C′⎣⎦T−11⎡(X−M)C(X−M)⎤XXfX(x1,...,xn;t1,...,tn)=n/21/2exp⎢−⎥(2π)C⎣2⎦上式表明：高斯随机过程的n维概率分布与时间(t1,...,tn)有关的因素，全部包含在C与中MX。m(t)=m若X(t)宽平稳则有：XiXR(t,t)=R(t−t)=R(τ)XikXkiXk−iQm′=m(t+ε)=m(t)=mXXiXiXvvQC={C},...........C′={C′}ik
6、n×nikn×n2C=C(t,t)=R(t,t)−mm=R(t−t)−mikXikXikXXXkiX2C′=C(t+ε,t+ε)=R(t+ε,t+ε)−m′ikXikXikX22=R[(t+ε)−(t+ε)]−m=R(t−t)−m=CXkiXXkiXikvv∴M′X=MXC′=C∴f(x,...,x;t+ε,...,t+ε)=f(x,...,x;t,...,t)X1n1nX1n1n所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。22、互不相关、互不相关↔↔互相独立互相独立如果高斯过程X(t)在n个不同时刻t1,...,tn的状态X(t1),...,X(tn)两两互不相关，
7、即C=C(t,t)=E[(X(t)−m)(X(t)−m)]=0,(i≠k)ikXikiikk则这些状态之间也是互相独立的。证明：由于C=0ik2⎡σ(t)0...0⎤1则:v⎢2t⎥0σ()...:C=⎢2⎥⎢::...:⎥⎢⎥2⎢⎣0...0σ(tn)⎥⎦代定义，并展开得f(x,...,x;t...t)X1n1n⎡n−2⎤11[xm(t)]ii=n/2exp⎢−∑2⎥(2π)σ(t1)⋅⋅⋅σ(tn)⎣2i=1σ(ti)⎦n21⎡[x−m(t)]⎤ii=∏exp⎢−2⎥i=12πσ(ti)⎣2σ(ti)⎦=f(x;t)⋅⋅⋅⋅f(x;t)X11Xnn由互不相关→
8、互相独立。证毕。例1、已知随机过程X(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)00其中ω0为常数，A和B是相互独立的高斯222变量，而且E[A]=E[B]=0，E[A]=E[B]=σ求X(t)的一、二维概率密度。解：在任意时刻ti，对过程X(t)进行采样，由于它是高斯变量A和B的线性组合，因此也是一个高斯过程。确定其概率密度的关键在于：求出其均值和协方差函数。E[X(t)]=E[Acosωt+Bsinωt]=E[A]cosωt+E[B]sinωt]=00000R(t,t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]X22=E[A]cosωtcosω(t+τ)+E[B]sinω
9、tsinω(t+τ)0000+E[AB]cosωtsinω(t+τ)+E[AB]sinωtcosω(t+τ)0000因为A与B独立，有E[AB]=E[A]E[B]=0，则2R(t,t+τ)=σcosωτ=R(τ)X0X可求得X(t)的均方值和方差为222ψ=σ=σ<∞XX由上可知，X(t)为平稳过程，其一维概率密度为21xf(x)=exp(−)X22πσ2σ其二维均值矢量和协方差矩阵为22⎛0⎞⎛σσsinωτ⎞⎜0⎟M=⎜⎟,C=X⎜0⎟⎜2cos2⎟⎝⎠σωτσ⎝0⎠则其二维概率密度为221⎛x−2xxcosωτ+x⎞⎜11202⎟f(x,x;τ)=exp−X
10、122⎜2
