随机过程习题new

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1、第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A和B，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。11如果每一乘客以概率登上A车，以概率登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立22的，并用ξ代表t=j时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则ξ＝1，乘客登上B车则ξjjjn11＝0，则P{ξj=1}=,P{ξj=0}=,当t＝n时在A车上的乘客数为ηn=∑ξj,ηn是一22j=1个二项式分布的计算过程。（1）求η的概率，即P{η=k}=?k=0,1,2,...,n;nn（2）当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如t＝21时η=9，且t＝22时又21有一个乘客乘A车，则t＝22时A车出发），求A

2、车的出发时间n的概率分布。解（1）：n⎛n⎞⎛1⎞P{ηn=k}=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎝k⎠⎝2⎠解（2）：P{车A在时刻n开车}=P(在n-1时刻，车A有9名乘客；在n时刻第10名乘客登上车A)n−1⎛n−1⎞⎛1⎞⎛1⎞=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎝9⎠⎝2⎠⎝2⎠n⎛n−1⎞⎛1⎞=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎝9⎠⎝2⎠第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程ξ(t

3、)。图题1－2画出了它的样本函数。试求ξ(t)的一维概率密度f(x)。ξt解：fxPxAPx()=−δ()+δ()ξtA0PtAPPt{()ξξ==}{()0}==PA0tnT∈−[(1),nTn]是任意的脉冲宽度,η∈(0,)TnPtAPtnTn{()ξη==∈−}{[(1),T+]}n=>Pt{[(1η−n−)T]}nT1=∫dηtnT−−(1)TTtnT−+−(1)=TnT−t=Tt=−nTtnT−−(1)=−1Ttn−−(1)TtPt{()0}1{()ξξ==−PtA==}=−−(1n)TT∴=−fxPxAPx()δδ()+()ξtA0⎛⎞tt⎛⎞=−⎜⎟nxδδ()(1−+−−Anx

4、⎜)(⎟)⎝⎠TT⎝⎠第3题设有一随机过程ξ(t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1－3(a)、(b)画出了两个样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于τ，τ是一个随机变量，它在（0，T）内均匀分布，即00⎧1⎪(0≤t≤T)fτ(t)=⎨T若锯齿波的幅度为A，求随机过程ξ(t)的一维概率密度。0⎪⎩0(其它值）解（1）：ξ(t)取值在0，A之间，且均匀分布⎧1⎪(0≤x≤A)fξ(t)(x)=⎨A⎪⎩0(其它值）解（2）：''⎢t⎥x令ξ(t)＝x，则x=k(t-τ)，(0≤x≤A)，t=t−⎥T,k为斜率。所以τ=t-。

5、0⎢0⎣T⎦k⎧111⎪=•−=(0≤x≤A)fξ(t)(x)=⎨TkA⎪⎩0(其它值）第4题设有随机过程ζ(t)=ξcosωt+ηsinωt(−∞0，ξ和η是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为21xf(x)=exp{−}(−∞

6、有事件A，AΔ{∫ζ(t)dt>c}，其中c为常数，求出现A事件的概率P(A)。π0解（1）：ξ,η相互独立，故其联合概率密度为f(x,y)=f(x)⋅f(y)，利用随机变量变换后ξηξη的概率密度的公式，可得到v,φ的联合概率密度：f(v,φ)=f(vsinφ)⋅f(vcosφ)⋅Jvφξηζ(t)=Vsin(ωt+φ)=Vsinφcosωt+Vcosφsinωt=ξcosωt+ηsinωt⎧V=ξ2+η2(0

7、==∂(,)Vφ∂∂(sin)vvφφ(cos)VVcosφφ−sin∂∂φφf(v,ϕ)=f(ξ(v,ϕ),η(v,ϕ))•

8、J

9、Vφξη=f(x,y)•

10、J

11、ξη=f(x)f(y)Vξη2VV−=e22π21v所以v,φ的联合概率密度f(v,φ)=exp(−)⋅v。该式分别对v,φ在各自的定义vφ2π2域内积分，即得v,φ的概率密度：2πf(v)=f(v,ϕ)dϕV∫Vφ02V−=Ve2+∞f