随机过程北邮new

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1、第三章泊松过程§3.1泊松过程的定义和例子定义3.1称随机过程{N(t),t0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：（1）N(t)0；（2）N(t)取正整数值；（3）若st,则N(s)N(t)；（4）当st时,N(t)N(s)等于“事件A”在区间(s,t]中发生的次数。注：计数过程N(t)是独立增量过程。Poission过程的定义背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点:(1)零初值性

2、：N（0）=0；(2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的;(4)普通性:在非常短的时间区段Δt内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与Δt成正比.泊松过程的定义（1）定义3.2称计数过程{X(t),t0}为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件（1）X(0)0；（2）X(t)是独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数0的泊松分布，即对任意s,t0，有nt(t)P{X(ts)

3、X(s)n}e,n0,1,(3.1)n!称为此过程的速率或强度。泊松过程的定义（2）定义3.3称计数过程{X(t),t0}为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：（1）X(0)0；（2）X(t)是独立、平稳增量过程；（3）X(t)满足下列两式：P{X(th)X(t)1}ho(h),（3.2）P{X(th)X(t)2}o(h).注：条件（3）说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。泊松过程的例子例3.2考虑来到某火车站售票窗口购买车票的

4、旅客。若记X(t)为在时间[0，t]内到达售票窗口的旅客数，则{X(t),t0}为一个泊松过程。例3.1考虑一电话交换台在某段时间间隔内接到的呼唤数。令X(t)表示电话交换台在（0，t]内收到的呼唤次数，则{X(t),t1}是一个泊松过程。定义3.3定义3.2。令P(t)P{X(t)n}P{X(t)X(0)n}.n根据定义3.3之（2）和（3），有P(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0}0P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0},P{X(t)X(0)

5、0}P{X(th)X(t)0},P(t)[1ho(h)],0故P(th)P(t)o(h)00P(t).0hh例3（事故的发生次数及保险公司接到的赔数）若以X(t)表示某公司交叉口、矿山、工厂等场所在（0，t）时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是{X(t),t≥0}的一种很好近似。设保险公司每次的赔付都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金额平均为多少？设一年开始为0时刻，1月末为1，2月末为2„„则年末为12n(412)412PX(12)nen!均值EX(

6、12)41248定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的。证定义3.2定义3.3。由于定义3.2的条件（3）中蕴含X(t)为平稳增量过程，故只需证明条件（3）的等价性。由（3.1）式，对充分小的h，有P{X(th)X(t)1}P{X(h)X(0)1}h(h)neh(h)/n!1!n0h[1ho(h)]ho(h),P{X(th)X(t)2}P{X(h)X(0)2}nh(h)eo(h).n2n!故定义3.2蕴含定义3.3。令h0取极限

7、得，P(t)0P(t)P(t)或,00P(t)积分得0tlnP(t)tC或P(t)ke.00由于P(0)P(X(0)0}1，代于上式得0t.P(t)e0类似地，对于n1有P(th)P{X(th)n}P{X(th)X(0)n}nP{X(t)X(0)n,X(th)X(t)0}P{X(t)X(0)n1,X(th)X(t)1}nP{X(t)X(0)nj,X(th)X(t)j}.j2由定义3.3的（2）和（3），得P(th)

8、P(t)P(h)P(t)P(h)o(h)nn0n11(1h)P(t)hP(t)o(h),nn1P(th)P(t)o(h)nnP(t)P(t).nn1hh令h0取极限得P(t)P(t)P(t),nnn1所以tte[P(t)P(t)]eP(t),nnn1因此dt