几种重要的随机过程new

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1、第四节几种重要的随机过程随机过程可以根据参数集T、状态空间I是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程的概率结构来进行分类。一、二阶矩过程定义6.4.1设随机过程{}X()t,t∈T，若对∀t∈T，X(t)的均值µ(t)和方差D(t)均存在，XX()2则称Xt为一个二阶矩过程。（有的书中以E[

2、X(t)

3、]<∞，定义二阶矩过程，可以证明两定义是等价的）。[()2]E

4、Xt

5、<∞⇔µ()t,D(t)存在XX22证明：“⇐”由D()t=E[]X(t)−[µ(t)]。XX“⇒”由µ()t=E[]X()tX≤E[]X()t12≤{E[X()t]}2

6、（schwarz不等式）<∞正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程。~~~()()()⎡⎤⎡⎤由于：Ε[]X()t=µ(t)，若作Xt=Xt−µt，则有：EX()t=0，DX()t=D[]X(t)，XX⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦~~即X(t)是零均值的二阶矩过程。因此以后不妨假设二阶矩过程均值为零。而零均值二阶矩过程X()t的协方差函数C~()t1,t2=CX()t1,t2，R~(t1,t2)=RX(t1,t2)。XX定理6.4.1二阶矩过程{X()t,t∈T}的协方差函数C(t,t)存在。X122证明：由条件知：E[

7、X()t

8、

9、]存在。222⎡⎤⎡⎤⎡⎤由Schwarz不等式：()EX⎣⎦Y≤EX⋅EY⎢⎣⎥⎢⎦⎣⎥⎦22⎡2⎤有：()EX()tX(t)≤E[]X()t⋅EX()t<∞121⎢⎣2⎥⎦即：R()t,t=E[X(t)X(t)]存在。X1212则：Ct(),,t=−R()ttµµ(t)(t)存在。XX1212X1X2注：对于零均值的二阶矩过程，其协方差函数与相关函数相同。定理6.4.2设R(t,t)是二阶矩过程{X(t),t∈T}的相关函数，则对∀t,t∈T，X1212R()t,t=R()t,t。X12X21证明：R()t,t=E[]X(t)X(t)

10、X1212=E[X()tX()t]21=E[]X()tX(t)21=R()t,tX21若X(t)是实二阶矩过程，则：R(t,t)=R(t,t)。X12X21定理6.4.3∀t,⋅⋅⋅,t∈T，复数λ,⋅⋅⋅,λ，n为任意正整数，R(t,t)具有非负定性。即：1n1nX12nn∑∑RX()ti,tjλiλj≥0。i==11jnnnn证明：∑∑RX()ti,tjλiλj=∑∑E[X()tiX()tj]λiλji==11ji==11j⎡nn⎤=E⎢∑∑X()tiλiX()tjλj⎥⎣i==11j⎦2⎡n⎤=E⎢∑λiX()ti⎥≥0⎢⎣i=1⎥⎦

11、注意：相关函数的非负定性才是二阶矩过程的本质特性。定理6.4.4设C(t,t)非负定，则必存在一个二阶矩过程（还可以要求是正态的）{}X()t,t∈TX12以C(t,t)为其协方差函数。（证明略）X12二、正交增量过程定义6.4.2设{X()t,t∈T}是零均值二阶矩过程，若对∀ts>a）1234则：E[X()s[X(t)−X()s]]=0，即E[X(

12、)s[X(t)−X()s]]=0。则：C()s,t=R(s,t)XX=E[]X()sX(t)=E[X()s[]X(t)−X()s+X()s]2=EX⎡⎤()s⎣⎦2=σX()s2同理，取t=a，t=t=t，t=s（as时，E[X(t)]>E[X(s)](自证)。三、马尔可夫过程定义6.4.3若随机过程{X()t,t∈T}对任意的正整数n及t,⋅⋅⋅,t∈T，其条件分布满足：1np{X()t≤x

13、X(t)=x,⋅⋅⋅,X(t)=x}=p{X(t)≤xX(t)=x}（6.4.1）nn11n−1n−1nnn−1n−1则称{X()t,t∈T}为马尔可夫过程。（6.4.1）式称为过程的马尔可夫性（无后效性）。若已知系统现在(t)的状态，则系统未来(t)n−1n的状态与系统过去的(t,⋅⋅⋅,t)状态无关。1n−2马尔可夫过程X(t)所有可能的取值组成的状态空间I和参数集T可以是连续的，也可以是离散的，甚至可以是既不连续也不离散的。四、独立增量过程定义6.4.4若对任意的正整数n和t

14、X()t−X(t)，…，X()t−X(t)是相互独立的，则称{X(t),t∈T}为独立增量过程。32nn−1特点：在任一时间间隔上状态的改变不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状