矩形薄板涡电流问题的两种求解方法.pdf

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1、第卷第期兰州大学学报自然科学版年月文章编号矩形薄板涡电流问题的两种求解方法张建平王记增王振亭兰州大学物理科学与技术学院力学系甘肃兰州摘要采用级数解解析地表征出了横向谐变磁场下矩形薄板的涡电流密度同时给出了小波伽辽金解法其数值结果与变分法比较后不难发现本文的这两种方法不但数值计算精度高而且使计算存贮和计算时间大量降低为工程中的涡电流计算提供了两种简单而又有效的方法关键词涡电流级数解小波伽辽金法变分法中图分类号文献标识码引言在工程中经常会涉及处于外加磁场工况中的导体构件的设计而如何处理力电磁相互耦合作用影响成为这类

2、结构设计的关键同时也成为力学研究的前沿领域之一等对静磁场中的铁磁体提出了基于广义变分原理的力磁耦合模型成功地描述了铁磁材料结构的各类典型力学行为针对力电磁的耦合作用详细研究了铁磁导等电梁式板在静磁场中振动时由于涡电流影响结构振动频率的实频与虚频以及它们的变化规律然而当外加磁场随时间变化时需要对结构内部的涡电流分布进行分析和研究其中采用较多的是数值方法如法法等但是数值方法只能给出在给定常域内的一个离散的数值解而且需要很大的存贮量和长时间的计算在各种数值方法中小波理论作为一种新的数学工具正备受关注等克服了小波伽辽金

3、法只用于二阶微分方程边值问题的局限性给出了有关小波理论中尺度函数二阶以上高阶导数和它们乘积的积分运算格式使小波伽辽金法在结构力学中的运用成为可能并实现了对压电结构振动的有效控制与数值方法相比由于级数能给出问题的解析式而被广泛采用如等曾以级数解形式的精确解圆满解决了轴对称冯卡门板方程的求解问题等也利用级数解求解了弹性地基上扇形板的弯曲问题本文针对处于横向谐变磁场中的矩形薄板利用法建立了求解板内涡电流分布的边值问题同时用级数解法给出了涡电流密度的解析表达式并用小波伽辽金法给出了板内的涡电流分布通过本文数值验证表明这

4、两种方法具有精度高和收敛速度快的特点而且与其它方法相比在精度相同的条件下小波迦辽金方法的计算量要小得多涡电流边值问题麦克斯韦方程中能够决定涡电流分布的安培定律和电磁感应定律分别为收稿日期基金项目国家杰出青年基金资助项目作者简介张建平男博士研究生42兰州大学学报(自然科学版)第37卷V>H=e(1)8Be8B0V>E=(+).(2)8t8t其中:H和分别为磁场强度和涡流密度矢量;B和B分别为涡流自身场和外加磁场矢量;ee0Be可以由毕奥萨伐尔定律直接求出.方程(1)和(2)补充以下的本构方程B=uHe=oE.(3

5、)其中:u为磁导率;o为电导率.由于忽略位移电流密度也没有传导电流因此电流密度就是涡电流密度.由(1)式得V因此引入涡电流矢势Te=0e=V>T.(4)利用elmholtZs公式毕奥萨伐尔定律和库仑规范条件VT=0后可得u1Be=uT+T/V/dS/(5)4TSR式中:T/为T的薄板表面S法向分量.n将(5)式代入(2)式再利用方程(3)和(4)并参考图1可得到外加横向谐变磁场下矩形薄板涡电流分析的控制方程1jwu1V>V>T+jwuT+T/V/dS/+jwB0=O.(6)o4TSR其中:j=1;w为圆频率.为

6、了确定解的惟一性相应的边界条件为I0>T=O(7)式中:I为表面S的法向单位矢量.0如图1所示对于长和宽分别为c和b的横向谐变磁场下的薄板对低频和中频的情况可忽略方程(6)左式中对涡流贡献不大的第三项令C1=juowC2=jowB0则由边界条件(7)和方程(6)并可图1横向谐变时变场下的矩形薄板示意图导出复系数的涡电流边值问题Fig.1Sketchmapoftherectangularlam-2VTC1T=C2inf;(8)

7、ticfield式中:T=T即T=Tk=Tk.2级数解由边界条件(9)式把涡流电矢势T的表达式取为如下的重三角级数OOmTnTT=EEAmnsinxsin.(10)cbm=1n=1将(10)式代入(8)式整理得第期张建平等矩形薄板涡电流问题的两种求解方法为了求出系数须将式右边的展为与左边同样的重三角级数即现在来求式中的系数将式左右两边都乘以然后对从到积分再将得到的表达式左右两边都乘以然后对从到积分这样可以求出这里的和是任意正整数再将代入式可得到的展开式将式与式对比并进一步化简得将式代入式即得涡流矢势的级数表达式

8、不难得出级数式的实部和虚部都是收敛的故式收敛利用式并将和的值代回可得到涡流密度的实部和虚部的表达式其中和分别为和方向的单位矢量小波伽辽金法解引入无量纲参数则区域化为从而复系数涡电流边值问题式和式可化为设其中兰州大学学报自然科学版第卷令这里为虚数单位则有式中为阶样条小波对应的尺度函数将式代入和式再以或为权方程两边取内积得到这是关于的线性方程组解之后代入式得到涡流矢势的解再由式可得到涡流密