曲率半径的两种求解方法

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1、曲率半径的两种求解方法　　高中物理教材中出现了曲率半径，并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢？曲率半径如何求解？很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.　　1平面曲线的曲率半径　　工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示，设曲线C是光滑的（曲线上每一处都有切线，且切线随切点的移动而连续转动）.在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为a，曲线上另外一点M′对应于弧s+Δs，在点M′处切线的倾角为a+Δa，那么，弧段Mm′的长度为

2、Δs

3、，当动点从M移动到M

4、′时切线转过的角度为

5、Δa

6、.用比值

7、Δa

8、1

9、Δs

10、来表达弧段MM′的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM′的平均曲率，并记作=

11、Δa1Δs

12、，当Δs→0时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，K=

13、da1ds

14、，把ρ=11K=

15、ds1da

16、称为曲线C在点M的曲率半径.　　设曲线的直角坐标方程为y=f（x），　　则ρ=11K=（1+y′2）3/21

17、y″

18、.　　设曲线的参数方程为x=φ（t），y=（t），　　则ρ=11K=[φκ′2（t）+′2（t）]3/21φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）

19、.8　　1.1抛物线上的曲率半径　　例1（2011年安徽高

20、考题）现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出，如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少？　　方法1数学公式法　　解斜抛运动参数方程　　x=φ（t）=v0cosa?t，　　y=（t）=v0sina?t-112gt2，　　可得φ′（t）=v0cosa，φ″（t）=0（1）　　′（t）=v0sina-gt，″（t）=-g（2）　　把（1）、（2）两式代入ρ=11K=[φ′2（t）+′2（t）]3/21

21、φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）

22、，　　得ρ=[v20cos2a+（v0sina-gt）2]3/21v0gcosa（3）　　运动到轨迹最高点历时t=v0sina

23、1g（4）　　把（4）代入（3），得ρ=v20cos2a1g.　　方法2物理方法　　一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把把它看作是某个圆的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中，当质点运动到A点对应的曲率半径为ρ，速度为vA，向心加速度为an，由向心加速度公式可得an=v2A1ρ.8　　解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度

24、，其水平速度为v0cosa，最高点法向加速度an=g=v0cosa）21ρ，所以曲率半径ρ=v20cos2a1g.　　例2将一小球以v0=10m/s的初速度从楼顶水平抛出，小球下落t=3s时位于轨迹曲线上的P点，求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.　　方法1数学公式法　　平抛运动参数方程　　x=φ（t）=v0t，　　y=（t）=112gt2，　　得φ′（t）=v0，φ″（t）=0（1）　　′（t）=gt，″（t）=g（2）　　把（1）、（2）两式代入ρ=[φ′2（t）+′2（t）]3/21

25、φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）

26、，　　得ρ=（v20+g2t2

27、）3/21v0g（3）　　把v0=10m/s，t=3s代入（3）式，得ρ=80m.　　此时小球瞬时速度v=v20+（gt）2=20m/s，　　所以an=v21ρ=5m/s2.　　方法2物理方法　　如图4所示，下落3s时，竖直速度vy=gt=103m/s.　　此时瞬时速度v=v20+（gt）2=20m/s，　　设其方向与水平方向夹角为θ，　　则tanθ=vy1v0=3，8　　得θ=60°.　　把重力加速度g沿该点法向和切向分解，法向分加速度　　an=gcos60°=5m/s2.　　由an=v21ρ得ρ=v21an=20215m=80m.　　1.2椭圆上的曲率半径　　例3质点

28、沿轨道方程为x21a2+y21b2=1的椭圆从A点开始做逆时针运动，如图5所示.求A、B两点的曲率半径.　　方法1数学公式法　　解椭圆的参数方程为　　x=φ（θ）=acosθ，y=（θ）=bsinθ，　　可得φ′（θ）=-asinθ，φ″（θ）=-acosθ（1）　　′（θ）=bcosθ，″（θ）=-bsinθ（2）　　把（1）、（2）两式代入　　ρ=[φ′2（t）+′2（t）]3/21

29、φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）

30、，　　得ρ=[a2sin2θ+b2cos2θ]3/21ab（3）　　A点θ=0，代入（3）式得ρA=