薄板的振动固有频率的求解.pdf

《薄板的振动固有频率的求解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、问题矩形薄板的参数如下33a150mmb,100mmh,5mmE,210GPav,0.3,7.9310kgm/求矩形薄板在（1）四边简支（2）四边固支条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成；（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；（3）自由面上的应

2、力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图1所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。图1薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移wxyt(,,)所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点axyz(,,)沿xyz,,三个方向的位移分量uvw,,的表

3、达式aaa分别为wuzaxwvz(1.1)ayww()高阶小量a根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为2uwazx2xx2vwaz(1.2)y2yy2uvwaa2zxyyxxy胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：22EEzww()()x2xy22211xy22EEzww()()(1.3)y2yx22211yx2EzwGxyxy1xy现画薄板微元的受力图

4、如图2所示。图2所示中Mx、Mxy和Qx、My、Myx和Qy分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。图2薄板应力示意图p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，2w沿z轴负方向有一虚加惯性力h2dxdy，根据Fz0，My0，My0则t有Fz0QQyxQdydydxQdyQdxdydxQdx(1.4)xxyyxy2w

5、Pxyftdydx(,)()hdydx02t整理后，可得QQ2wxyPxtft(,)()h(1.5)2xytMx0MQyy1Mdx(Mdxdydx)QdxdyQdx(dydx)yyyyyy2MxyMdy(Mdydydx)0xyxyx(1.6)My0MxMyx(Mdydxdy)Mdy(Mdxdxdy)MdxxxyxyxxyQ11x(Qdydxdy)dxQdydx0xxx22整理得到MMxyxQyxy(1.7)MMyyxQxxy由

6、弯矩的计算公式hM2zdzxxh2hM2zdzyyh(1.8)2hMM2zdzxyyxhxy2将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得22wwMD()x22xy22wwMD()(1.9)y22yx2wMD(1)xyxy再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为4442wwwwD2hPxyft(,)()(1.10)42242xxyyt3Et这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中D为薄板的抗弯刚度。212(1

7、v)3、矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为4442wwwwDh2042242xxyyt(1.11)或写成24wDwm0(1.12)2t其中mh设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：wxyt(,,)Wxy(,)cost(1.13)将式(1.13)代入式(1.12)）可得44WkW0(1.14)42hk(1.15)D再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如下形式：Wxy(,)XxYy()()将上式代入式(1

8、.14)中，可得4224Xx()Xx()Yy()Yy()4Yy()2Xx()kXxYy()()0(1.16)4224x