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1、第期固体力学学报沁年月人关于线性振动系统固有频率与支承刚度的关系巢凯年四川工业学院,引言线性振动系统的固有频率是表征其动态特性的重要参数之一如果,二该系统具有弹性支承祥们往往希望能丛一个简单的公式来了解支承刚度对固有频率的定量影响在这方面前人所获得的一些结果、’都导致一个颇为复杂的代数方程本,,文的分析表明在一定的条件下可以建立直接以支承刚度为自变量的基频近似表达,,,式在所关心的范围内该式有较好的精度形式简单并能估计误差对较高阶次的,,固有频率当支承刚度变化不大时也可以用一个简单的公式表明二者间的关系理论推导本文中若于术语的意义如下,以待求
2、系统即具有弹性支苯的欲求其固有频率的系络如图二所示连接点图,一,以及中黑点为界待求系统影芬为两部分虚线所围的主子结构虚线所围部分以外,,从,,的弹性支承寿⋯是主子结构以外的弹性支承个数主子结构本身可有弹性,“”,或刚性支承或无支承下文中支承一词除特别说明外一律指主子结构以外的支承它们被认为是无质量的一维线性弹簧,连接点指支承与主子结构的连接点图中以黑点表示基本系统各连接点在与弹性支承相应产一一一一一一一一方向上的自由度被消除后的主子结构它的动态参数是已知的现考虑主子结构为自由度的情形,假定连接点处无质量与其他参考点坐标间,也无质量祸合并忽略阻
3、尼,设待求系统在连接点处断开与待求系统自由振动相对应的主子结构的运动方程为·一。份‘。七。处。。,。式中内点标记内点即主子结构上除连接点外的全部参考点—本文于年月日收到。凯年关于线性振动系统固有频率一与支承刚度的关系第期巢连接点标,记。—,基本系统质量阵阶工—,基本系统刚度阵阶,。—,”内点坐标与连接点坐标间的交叉刚度阵阶·—,””茂主子结构连接点坐标刚卑阵阶,一,内点位移向量维—,书维连接点处与弹簧方向相一致的位移向量—,几连接点处内力向量维以基本系统注,—的主模态矩阵子为内点位移向量空间的基底则‘二。子咋乒。仁,式中为在基底易上的主坐标向
4、量维是单位矩阵,,,把,式代到式并在等号左右两端前乘”叮了·。。觉幼〔予里乏舒要纷倏‘一‘、,云申风为基本系统的主质量附介天“阶愁统嚼主模一态刚度阵嘛碑森阶,另一方面弹性支承的变形方程为二一为凡‘,,‘、式中为各弹性支承在许接点处的位移向量玲丸门维而‘扭怪,左‘丫一、、。式中为为第个弹性支水刚度式与式堆积在尸起、、、、。口、‘二户、尸‘声几,声二”﹄门瓜翔︸。冲四的凡沙针叫习一娇‘连接点处的约束方程为矛‘、了,忆沪曲、勒气粉跪卞长讹挑,代到式再在等号两边前乘,下同·注少为张量巨体力学李报年厂兄以生月‘厂、尸︺夕、、,二︸冲了产、、中了上火,戈
5、自十一中︸。。此即待求系统的自由振动方程相应的频率方程为,。,一。,元汤砂‘拓二,巾。式可变换为一了白一。。式中忆产月口、盈卜尹﹄气·、万鲡咖嘶”︸”“们“︸鲡⋯︸叫︸一‘。备。‘式中为基本系统第阶固有频率而‘‘,·‘··。。,,了中⋯九标扩哥‘,式中中为基本系统第个内点坐标上的第阶主模态断为第个内点坐标与第’「‘·’个连接点坐标间的交叉刚度亩为基本系统第。阶圭模态质量一。,的力学意义是假定基本系统的变形其主模态质量归一化的第‘阶主模静黔,氏,态则第了个连接点受的反力即为它的方向与弹簧方向相一致这个力可以称之为基本系统第阶主模态在第个连接点处
6、的模态力令’”‘、。’“’“”“,二日口二一嗜’‘。“之⋯二夕‘‘、儿︸一则式变为里二一卫一耘华卜一生一「二、,了卜尹‘‘·’一,、。群二,由分块行列式定理〔〕从式得·一‘。〔。〕一。一了。。尤第期巢凯年关于线性振动系统固有频率与支承刚度的关系·。。夕、、‘口、少‘、〔。〕〔‘一‘〔一。〕〕一一匕三一广又「「下丹了、‘·“‘‘‘‘一一一共一一又仁田斤一田夕少十。一。丢、、一’共。一。“一。者万田一田‘圣碳嗒架客,山一云寿一火口为一臼气口凡一口,上式的推导应用了分块矩阵求逆定理〔〕。。是与所讨论间题无关的矩阵是一个适当选定的频率令‘。“一‘一歹
7、必孟一。孟则式变为一卜又产一。一。护、、一是以山一。一。一。子〕山圣一。孟。一。鑫汤一。子一。一。〕由寿一,弄。。式中也是一个适当选定的频率、。现在考虑待求系统的基频解吻。都设定在。一。之间的适当位置在基本系,,。,成统二阶固有频率与基频不很接近的条件下不论待求系统的实际基频向是多少因。,,。。了,,。添一。力一一。,式中的卜⋯都比叫耐大得多如把耐矛略去并令一基“二研共、一由寿一。勿由盗一。考则式变为。。〔一。一。一‘,卜卜叹呈县〕·上式较小的根即为待求系统基频的近似值,,利用马克洛林公式和逆阵微分定理式等号右边展开后取前两项得一·一。一。’
8、,一一一。。。一‘。,互〔圣者〕。。。。卜卜互〔〕。一。孟二一‘‘一‘一‘。一。互〔〕叹〔〕〔〕圣音固体力学学报年一。圣互贝吕必一。,〔犷式中全考,、、,、术的有端
