固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型

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1、.固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、问题矩形薄板的参数如下求矩形薄板在（1）四边简支（2）四边固支条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成；（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；（3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。为了建立应力、

2、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图1所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。图1薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点沿三个方向的位移分量的表达式分别为...(1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为(1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：(1.3)现画薄板微元的受力图如图2所示。图2所示

3、中分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。图2薄板应力示意图p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力，根据，，则有...(1.4)整理后，可得(1.5)(1.6)整理得到(1.7)由弯矩的计算公式(1.8)将式代入式，积分后得...(1.9)再将式代入式，即可得到薄板微元的运动微分方程为(1.10)这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中为薄板的

4、抗弯刚度。3、矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为(1.11)或写成(1.12)其中设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：(1.13)将式代入式）可得(1.14)(1.15)再根据板的边界条件来求解固有频率，式可用分离变量法来求解。假定解具有如下形式：将上式代入式中，可得(1.16)上式可改写为...(1.17)(1.18)现讨论式中，首先要满足边界条件，设(1.19)根据上两式，有(1.20)则，故有(1.21)将上两式代入式第一式中，可写为(1.22)即有(1.23)于是变量得到了分离，要满足式的三角函数为(1.24)类似地也可得

5、出另一个平行的能使分离变量的条件为(1.25)现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和x=a边为简支，则满足此边界的条件，故式可写为(1.26)令(1.27)代入式有...(1.28)即为(1.29)上式的解为(1.30)式中再由y=0及y=b的边界条件，由式可求得(i=1,2,34)的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为(1.31)设则满足边界条件。将上式代入方程，得将上式两边乘以并对整个面积进行积分得到：则得固有频率为(1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠

6、度函数为(1.33)将上述结果用MATLAB求出：...表格1简支的固有频率计算结果频率D11D12D21D22D13计算结果1110021347341554440138424仿真结果13951231353361045169.39451图3简支的模态Abaqus的计算结果：表格2简支薄板各阶振型abaqus实体单元有限元仿真结果实体有限元模态频率D1113951D1223135.D2133610....D1339451D2245169.D1459868.4、固支边界条件振动微分方程的解四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为(1.34)4.1正弦函数平方的逼近根据简支

7、的启发，正弦函数的平方满足边界条件。所以设其是如下形式：(1.35)将上式带入方程，整理可得(1.36)根据伽辽金法两边乘以并在整个区域内积分可得到...(1.37)频率计算结果如表格3，振型计算结果如图4表格3频率计算结果阶数D11D12D21D22D13角频率值21690.941032.573992.186763.578703.1图4用sin2x作为试函数求解的模态用abaqus有限元模拟上述结果对比，采用四边固支，固支单条边，网格为5层。结果如下图5。实体单元模态频率D1120228.D1230990....D2148507.D1348872.D225811

8、6.D14