机械振动固有频率与振型.ppt

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1、返回首页TheoryofVibrationwithApplications固有频率主振型主坐标和正则坐标固有频率相等的情形多自由度系统固有频率与振型1返回首页TheoryofVibrationwithApplications设n自由度系统运动微分方程的特解为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为多自由度系统固有频率主振型2返回首页TheoryofVibrationwithApplications将解式代入系统运动微分方程，并消去，得到多自由度系统固有频率主振型3返回首页TheoryofVibr

2、ationwithApplications特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。式是关于ω2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。多自由度系统固有频率主振型4返回首页TheoryofVibrationwithApplications可得到前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有于是，得到多自由度系统固有频率主振型5返回首页The

3、oryofVibrationwithApplications频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。多自由度系统固有频率主振型6对应于ωi可以求得A(i)，它满足

4、返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsA(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型多自由度系统固有频率主振型7返回首页TheoryofVibrationwithApplications对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确

5、定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为多自由度系统固有频率主振型8返回首页TheoryofVibrationwithApplications主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵逆矩阵乘以代入比较所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。任何非零列成比例多自由度系统固有频率主振型用矩阵A的第i行第j列的代数余子式把第j行第i列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵，记作adjA。9返回首页TheoryofVibrationwithApplications当运动

6、微分方程是位移方程时，仍可设其解具有特征矩阵频率方程求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将ωi值代入而求出.代入位移方程多自由度系统固有频率主振型10返回首页TheoryofVibrationwithApplications例1图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为将M和K代入频率方程多自由度系统固有频率主振型11返回首页TheoryofV

7、ibrationwithApplications解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵多自由度系统固有频率主振型12返回首页TheoryofVibrationwithApplications设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将ω1值代入，得到第一阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示多自由度系统固有频率主振型13归一化后，即令返回首页TheoryofVibrationwithApplications=0主振型也可由式求得代入可得主振型多自由度系统固有频率主振型14返

8、回首页TheoryofVibrationwithApplications例2在例1中，若k1=0,求系统的固有频率和主振型。相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：特征矩阵为可得到频率方程多自由度系统固有频率主振型15返回首页TheoryofVibrationwithApplications解出得到三个固有频率分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型多自由度系统固有频率主振型16返回首页TheoryofVibrationwithApplications这种振