第六讲 勾股定理逆定理(2)

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1、黄金数学组：：唐老师校区：科华校区校区电话：85352248升初二讲义第六讲勾股定理的逆定理（2）【知识点精讲】1、勾股定理的逆定理；勾股定理与其逆定理的联系和区别。2、利用勾股定理的逆定理判定一个三角形的形状；解决相关的证明题。【典例精讲】例1证明边长为3(2m＋3),,(m是正整数)的三角形是直角三角形。证明：∵＞，＞3(2m＋3)，∴是最长的一条边。∵＝＝＋18（）＋81＝＋，所以根据勾股定理的逆定理可知，以此三数为边长的三角形是直角三角形。例2、如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足，判断△ABC的形状。点悟：要判断△ABC的形状，

2、需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件，故只有从该条件入手，解决问题。解：由，得，∴。∵，，。∴a＝3，b＝4，c＝5∵，∴。由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。点拨：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的。例3、在正方形ABCD中（图1－18）F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC，求证：∠EFA＝90°。证明：设正方形ABCD的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a，Rt△ABE中，由勾股定理得：。在Rt△ADF中，由勾股定理得：。在Rt△ECF中，由勾股定理得：。在△AFE中，。又∵，∴。由勾

3、股定理的逆定理可知：△AEF为Rt△，且AE为最大边，5时间是最公平的，它从不多给谁一分，勤劳者能叫时间留下串串的果实，而懒惰者只能让时间留给他们一头白发，两手空空。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　名师堂关键教方法黄金数学组：：唐老师校区：科华校区校区电话：85352248升初二讲义∴∠AFE＝90°。例4、如图1－19，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，求证：（1）c＋h>a＋b；（2）以a＋b，c＋h，h为三边可构成一个直角三角形。证明：（1

4、）在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴，即ab＝ch。∴.∴(c＋h)－(a＋b)＝＝＝＝又∵在Rt△ABC中，AB＝c为斜边，∴c>a，c>b。∴。即(c＋h)－(a＋b)>0。∴c＋h>a＋b。（2）由（1）得，。∴＝，＝。∴。∴以a＋b，h，c＋h为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。点拨要比较a与b的大小，可先求a－b，再将结果与0比较。若a－b>0，则a>b；若a－b＝0，则a＝b，若a－b<0，则a

5、此来求出斜边上的高。例5、如图1－20，△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：点悟：欲证，只须将BD用AD、AC表示出来即可，这样有∴只要证明即可。即证明5时间是最公平的，它从不多给谁一分，勤劳者能叫时间留下串串的果实，而懒惰者只能让时间留给他们一头白发，两手空空。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　名师堂关键教方法黄金数学组：：唐老师校区：科华校区校区电话：85352248升初二讲义就可以了。证明略。例6、已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a＝n，b＝，c＝（n是大于

6、2的偶数）。求证：△ABC是直角三角形。证明：∵＝，，∴由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。例7、如图1－21，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且PA＝1，PB＝3，PC＝。求：∠CPA的大小。点悟：已知条件中的PA、PB、PC过于分散，可将其集中到一个或两个三角形中，再应用三角形的有关知识解决问题。解：在△ABC外部作△AQC≌△APB，连结PQ，则AQ＝AP＝1，CQ＝PB＝3，∠QAC＝∠PAB。∵∠PAB＋∠PAC＝90°，∴∠QAC＋∠PAC＝90°，即∠PAQ＝90°。∴，∠QPA＝∠PQA＝45

7、°。在△PQC中，，，，∴。∴∠QPC＝90°。∴∠CPA＝∠CPQ＋QPA＝90°＋45°＝135°。点拨：本例通过在三角形外作△APB的全等形，从而将已知的PA、PB、PC集中到一起，为进一步解题创造了条件。【综合能力训练】1．已知a、b、c是△ABC的三边，（1）a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5；（2）a＝4，b＝5，c＝6；（3）a＝7，b＝24，c＝25；（4）a＝15，b＝20，c＝25．上述四个三角形中，直角三角形有()个．A．1B．2C．3D．42．下列命题中的假命题是()A．在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，则△ABC是直角

8、三角形；B．在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形；5时间是最公平的，它从不多给谁一分，勤劳者能叫时间留下串串的果实，而懒惰者只能让时间留给他们一头