第十讲 勾股定理逆定理

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1、第十讲：勾股定理的逆定理学习目标　　1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．　　2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.　　3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理　　如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.　　要点诠释：　　（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.　　（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个

2、三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形　　（1）首先确定最大边（如）.　　（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.　　要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题　　如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.　　要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为

3、真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点梳理要点四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.　　熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　　　①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……　　如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.　　要点诠释：　　（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；　　（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；　　（3）（是自然数）是直角三角形

4、的三条边长；典型例题类型一、原命题与逆命题　　1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确　　1．原命题：猫有四只脚．　　2．原命题：对顶角相等.　　3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．　　4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）　　①同旁内角互补，两直线平行；　　②如果两个角是直角，那么它们相等；　　③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；　　④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形

5、．类型二、勾股定理的逆定理　　2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．　　（1）＝7，＝24，＝25；　　（2）＝，＝1，＝；　　（3），，()；【变式1】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．　　【答案】　　解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．　　　　∵，，，∴，　　　　∴以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．　　【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5　则这个三角形三边上的高之比是（　）　　A．20:15:12　　B．3:4:5　　　C．5:4:3　　　D．10:8:23、如图

6、所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积　　　　　　　　　　　　　　　　　　【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型三、勾股定理逆定理的实际应用　　4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小

7、时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？二、经典例题、针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形例1、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.针对训练：1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.2(如图)在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：ÐEFA=90°.3、如图，已知：

8、在ΔABC中，ÐC=90°，M是BC的中点，MD^AB于D，求证：AD2=AC2+BD2.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.3.已知：如图，DE=m,BC=n,ÐEBC与ÐDCB互