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1、第四章多项式与矩阵计划课时:24学时(P159-220).§4.1带余除法多项式的整除性(2学时)教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质教学重点、难点：带余除法及带余除法定理的证明本节内容分以下四个问题讲授：一．多项式的定义(P159定义1)注:在讲多项式的定义时,重点放在形式表达式上注意区分零多项式和零次多项式.二．消去律问题(P161推论4.1.2),在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去而得结论,因为这时我们还没讲多项式的除法.三．带余除法(p161定理4.1.3),或＜这里要强调指出,用多项式去除时要求
2、.注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。四．整除的定义、性质以及整除的判定注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法,因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式,,所以0
3、0（而不能用记号）.作业：P214，1，2，3，4，5.§4.2最大公因式(4学时)教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法.教学重点、难点：71.辗转相除法2.辗转相除法的证明本节内容分以下三个问题讲授：一．最大公因式的定义(P164–167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.2.
4、最大公因式一定是存在的.二．最大公因式的求法(P166–167).（1）辗转相除的过程.（2）注意:辗转相除过程中最后一个不为零的余式是的一个最大公因式,推下去,容易得到但满足上式的不唯一(可举例说明).三．多项式的互素(P170)注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时,应详细讲解两个多项式互素问题:互素.另外,补充三个性质:(1)．,则.(2)．½,且,则½.(3)．½,½,且,则½.注意下面两个结论的不同之处:作业：P2157，8，10，11，12，19.§4.3多项式的分解(4学时)教学目的及要求：理解不可约多项式、k重因式的定义，掌
5、握它们的性质及因式分解唯一性定理教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理7本节内容分为下面三个问题讲授：一.不可约多项式的定义及性质(P170-172)(1).不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的.换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题.(2).不可约多项式与任意多项式f(x)的关系是:要么,要么,仅仅只有一个成立.二.多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关若都是数域,且,,则在中的不可约分解与在中的不可约分解一般不同.例若,是有理数域,是实数域.则在中,的不可约分解是.而在中,的不可约分解是.三.多项式的导数(P174的定义3
6、)设记的导数为,则这里导数的定义是纯粹形式上的.不涉及函数、连续、极限等概念.作业：P21513，14，15，16，17，18.§4.4最大公因式的求法（I）（2学时）教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法教学重点、难点：1.用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法2.定理4.4.7的证明7本节内容分下面三个问题讲授：一.多项式系矩阵A的最大公因式（定义1）注：给定一个矩阵A,则A一定能确定一个多项式系而这个多项式的最大公因式又叫矩阵A的最大公因式.二.矩阵的准等价与矩阵的准初等变换()
7、A与B有相同的最大公因式.注:两个矩阵准等价时,行数不一定相等,列数也不一定相等.例如,.A与B准等价,A是3行4列,B是2行3列.要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大.三.准初等变换与矩阵最大公因式的关系()定理4.4.5准初等变换不改变矩阵的最大公因式.(证明略).该定理的证明比较长,但并不复杂.可由3个引理直接得到,这样的证明简明扼要.有了定理4.4.5,定理4.4.6,定理4.4.7,便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法.例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法.与辗转相除法比较,该方法优越的多.作业：P215-21
8、620.§4.5最大公因式的矩阵求法(Ⅱ)(4学时)教学目的及要求：掌握用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法教学重点、难点：1.用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法2.定理4.5.3的证明本节内容分下面四个问题讲授：一.方法(Ⅱ)与方法(I)的区别.§4.4的例2给出了求最大公因式的矩阵准初等变换法.它们的最大公因式是.因此一定有使.7但方法(I)并没有告诉我们如何求.本节讲的方法(Ⅱ)就弥补了这一点.二.-矩阵与初等变换()⑴以中多项式为元素的矩阵称为F上的-矩阵,根据这一定义,以数为元素的矩阵是-矩阵的特殊情形.换句话说，
9、以数域F上的数为元素的矩阵也是F上的-矩阵.此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式.⑵由于以F上的为元素的
