6.多项式矩阵理论

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1、第六章数学基础：多项式矩阵理论一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6)多项式：多项式矩阵：元为多项式的矩阵注1：多项式的集合不构成域，是环；因其对乘逆运算不封闭；注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域，记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。05级研究生《线性系统理论》教案奇异和非奇异：对方多项式矩阵而言，Q(s)线性相关和线性无关：对象是有理分式域中的一组多项式向量04级研究生《线性系统理论》教案注意：04级研究生《线性系统理论》教案秩：与通常矩阵秩的定义相同04级研究生《线性系统理论》教案单模矩阵：一类特殊的多项式

2、矩阵方阵，非奇异方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。性质：（1）Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵；（2）Q(s)为单模阵Q(s)非奇异；（3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；（4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。初等变换：（1）行（列）交换；（2）用一非零实或复数乘以某行或列；（3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。04级研究生《线性系统理论》教案注：（1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵；（2）初等矩阵都是单模矩阵；（3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右

3、乘单模矩阵；（4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。04级研究生《线性系统理论》教案6.7埃尔米特形多项式矩阵的规范形之一。Hermite形的特征，见书；化为Hermite的算法：只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即性质：对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形04级研究生《线性系统理论》教案6.8公因子和最大公因子一.公因子的定义相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.相同行数的两个多项式矩阵间

4、可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.04级研究生《线性系统理论》教案二.gcd(最大公因子)的定义gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)则称Q(s)是B(s)和A(s

5、)的gcld.04级研究生《线性系统理论》教案三.如何求gcd以gcrd为例.04级研究生《线性系统理论》教案Why:04级研究生《线性系统理论》教案04级研究生《线性系统理论》教案三.Gcd的性质以gcrd为例(1)gcrd不唯一.若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵,则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:04级研究生《线性系统理论》教案(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrdR2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd则R1(s)非奇异R2(s)

6、非奇异R1(s)单模R2(s)单模(3)(4)gcrdR(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.04级研究生《线性系统理论》教案6.9互质性一.右互质和左互质D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质.A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质.二.右互质判据判据1:贝佐特等式判据D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I

7、04级研究生《线性系统理论》教案证明:必要性:已知D(s),N(s)右互质，证等式成立充分性：等式成立，证D(s),N(s)右互质令R(s)为D(s),N(s)的一个gcrd.只要证R(s)单模。04级研究生《线性系统理论》教案判据2：秩判据判据3：非右互质判据04级研究生《线性系统理论》教案三.Gcrd构造关系式的一个性质04级研究生《线性系统理论》教案6.10列次数和行次数一.次数多项式的次数：多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。04级研究生《线性系统理论