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1、矩阵多项式一、矩阵多项式的定义和性质1•定义设f(x)=aoxfi+①兀心+A+5■卫+〜是X的n次多项式，A是方阵，E是与A同阶的单位阵，则称/(A)=+d/"1+A+6ZZ?_
2、A+ci^E为由多项式fM="N"++A+""-M+-形成的矩阵A的多项式。记作/(A)。2.性质设P(刃是复数域上的多项式，⑴若B=T~}AT,贝如(B)=厂
3、p(A)T(2)若A=diag(人,%…,4),则P(A)=diag(p(£),卩他),…,p(&))(3)若Ax=加,贝！Jp(A)x=p(A)xBP：若入为矩阵A的特征值，则。(久)为"(
4、A)的特征值。3•化零多项式设P(z)是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如果P⑷二0,则称P(z)是矩阵A的化零多项式4.Ham订ton-Cayley定理设A是n阶矩阵，f(A)是A的特征多项式，则f(A)=0该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式5.最小多项式设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1,次数最小的化零多项式为A的最小多项式。例：主对角元为入o的n阶Jordan块J的最小多项式为P(入)=(入-入o)「’主对角元为入。的n阶Jordan形J二diag(JbJ2,…，入)的最小多项式为P(X)=(X-Xo)*其中
5、k是J的Jordan块Ji的最大阶数。6.最小多项式的性质(1)矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。(2)相似矩阵有相同的最小多项式。(3)矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。证明：(1)设0(刀川(刀分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式，由最小多项式的定义可知9()[^)]<9°[/X^)]利用多项式的带余除法知，存在多项式曲)，厂⑷使得p⑷=呎2）?（/!）+厂⑷9°[r（2）]<3°[
6、因此r（2）=0,即0⑷"⑷矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。推论（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。（2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同。4.矩阵最小多项式的求解定理1设A是n阶复数矩阵，则A的最小多项式（刀是A的最后一个不变因了aS）。由定理1可以得到计算矩阵最小多项式的第一种算法，即通过求矩阵的最后一个不变因子〃"（'），得到矩阵的最小多项式。例1:‘-514、求A二-1238的最小多项式H15,2+5-1-4解：特征多项式九⑷二匪-A
7、二122-3-8.各阶行列式因子为分别为6
8、-12-5贝lid］（2）=£>i⑷=1,d2（几）==2-1,⑷==（2-1）1仃00、于是办⑷二花-人等价于0A-10.由于AE-A的不变因子即为A的不变因子.〔00（1-1）2J从而由定理1知，fAW=^-A的最后一个不变因子4一1）2就是A的最小多项式。即%（2）=（兄-I）'o由于A是复数域C上的n阶方阵，所以A的特征值都属于C,从而A在复数域C上相似于若当形矩阵八為g仏⑷，丿2（入），…，人（人）严。所以方法一具有普遍适用性。定理2设A是n阶复数矩阵，则将A的特征多项式办（久）标准分解式中含有（2-入）.・・（2-入）
9、的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化a多项式就是A的最小多项式。例2:<2-11、求矩阵A=011<-111丿的最小多项式.XZ2-21-1解：A的特征多项式为九⑷=^E-A=02-1-1=(A—2X^—1)~,1-1A-1设A的最小多项式为m,（A）=（/l-2）U-l）l<^<2.W为/0-11)'1-1I、］<-11-1、(A--2E）（A-E）=0-11001=-11-1-11T丿-110丿<000丿厂0-11、(1-1］、2(A--2E)(A-E)2=0-11001=0,<-•1-11-1'0所以P=
10、2,故A的最小多项式为蚀⑷=（2—2X2—it例2也可以结合性质2的推论，证明了3-2E）（A-E）HO之后，可以育■接得出最小多项式即为特征多项式，％（刀=办（/0=（2-2）仇-1）1定理3设矩阵方程为术++…+优显［依次令k二1,2,…，从相应的矩阵方程中求解“叽…叽,第一次有解时，解所对应的多项式加⑷=-（%+/+・・・+bk_^+］）就是矩阵a的最小多项式。从定理3可以得到计算矩阵最小多项式的第三种方法，即采用比较系数法,让自然数R从1开始,依次求解矩阵方程屮=®E+W…+$占中的5如・叽,当第一次有解吋，就可以写出矩阵
11、的最小多项式了.<332、求矩阵A=11-2的最小多项式.1-3-10例3：解：式解A="E。显然关于％无解，再试解圧=砖+吐。展开式对应的方程组关于％,勺无解.再试解川二％E+bd+E",展开式对应的方程组解得%二16,b匸一4,优二4•所以矩阵
