矩阵多项式与多项式矩阵

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1、§8矩阵多项式与多项式矩阵设A是n阶阵，则为矩阵A的特征多项式事实上，因此有一、Hamilton-CayleyTh（哈密顿—开莱）Th2.每个n阶矩阵A，都是其特征多项式的根，即（矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n阶矩阵的多项式次数高于n次时，则可用该定理将它化为次数小于n的多项式来计算。eg1.设试计算解：A的特征多项式为取多项式余项由上定理Df2.一般地，设是多项式，A为方阵，若，则称是矩阵A的零化多项式。根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即Df3.设A是n阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式，称为A

2、的最小多项式。显然：①矩阵A的零化多项式都被其最小多项式整除。②矩阵A的最小多项式是唯一的Th3.矩阵A的最小多项式的根必是A的特征根；反之，A的特征根也必是A的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。由此可得，求最小多项式的一个方法：设，其所有不同的特征值为，则其特征多项式为第4页共4页则A的最小多项式必具有如下形式：其中eg2.求的最小多项式解：的最小多项式,只能是：,或，,及经计算可知：是A的最小多项式，由此可得：Th4.若A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。下面定理给出了求最小多项

3、式的另一种方法：Th5.设A是n阶矩阵，是特征矩阵的n-1阶行列式因子，则A的最小多项式为——n阶不变因子。eg3.求的最小多项式     二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。Df1.称为矩阵，或多项式矩阵，其中是的多项式。Df2.若n阶多项式矩阵的行列式（非零多项式），则称是满秩的（秩=n）或非奇异的。Df3.若使，则称是可逆的，或称是单模矩阵，记为。注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。第4页共4页Th1.n阶多

4、项式矩阵可逆为非零常数。注：也可象A一样，进行初等变换。①互换的任意两行（列）②以非0数c(乘以的一行（列）③以多项式乘的某一行（列）并加到另一行（列）Df4.由单位阵E，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。Df5.多项式矩阵称为与等价，若经过有限次初等变换能变为记为亦具有自反性，对称性，传递性。Th2.对任一非零多项式矩阵，有：其中是的秩，是首项系数为1的多项式，且称为的更密斯（Smith）标准形，称为的不变因子。同数字矩阵一样，也可以定义的k阶行列式因子与初等因子。eg1.求多项式矩阵：的Smith标准

5、形。解：利用初等变换可得：第4页共4页且有,,Th3.若，则与必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。Th4.与具有相同的行列式因子，或不变因子。利用多项式矩阵与Smith标准形等价还可以求出一个矩阵A的Jordan标准形。eg2.求：的Jordan标准形。解：初等因子为，故由上述重要结论：，——的主要理论依据。§9.矩阵的分解Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。实对称（正定）矩

6、阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。若为矩阵，则存在酉矩阵，使。其中。若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。（舒尔）。若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。本定理称为矩阵的分解。设求的分解。解：是非奇异的阶实矩阵。由知：存在分解。第4页共4页