根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵

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1、根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵矩阵的特征矢量比特征值更难计算，如果能够根据特征值来计算特征矢量，无疑是非常理想的。这在矩阵特征值不简并时时可以做到的。因为这时矩阵可以作特征分解即，这里每个特征值只对应一个特征矢量，投影算符的秩是1，投影出来的子空间是1维的。在矩阵特征值出现简并时不能这样分解，但是可以将对应本征值的空间通过投影算符投影出来，投影算符的秩不再是1，投影出来的子空间不再是1维的。我们通过矩阵的最小多项式将这个投影算符用矩阵多项式表达出来。特征值代数重数等于几何重数的矩阵构造投影矩阵如果知道矩阵的所有特征值，比如对称M矩阵的特征值有3个，分别是a,b,c我们可

2、以这样构造对应的特征空间的投影算符为什么？直观理解，作用在b,c特征子空间时，为0，因此可以。由于M矩阵是对称矩阵，可以通过相似变换对角化，比如说如下形式于是这个最小多项式可以给出M矩阵构造的投影算符的系数因为因此其他类推。特征值代数重数不等于几何重数的矩阵构造投影矩阵那么如果矩阵不是对称的或厄密共轭的呢？矩阵可以通过相似变换化成Jordan形式于是可以可分析其最小多项式是关键。假设矩阵M的最小多项式是于是满足于是投影到本征值为对应的本征空间上的投影算符可以写为其中是最小多项式除以得到的多项式。而，是小于次数小于的多项式，且满足证明(1)证明于是注意，因为是最小多项式。(

3、2)证明最小多项式是它的因子，因此(2)证明这个多项式的次数且在处的函数值都为1，在处的阶导数都为0，满足这些条件的多项式函数除1以外，都是次数的函数。因此，于是。计算的办法这里可表述为积分回路是复平面上包含且不包含其他特征值的逆时针回路，可以通过泰勒展开计算。还有一种方式计算的方法是用1除以。比如计算使得就可以采用如下除法于是有比如矩阵M的最小多项式为，要对应于3特征值的投影算符就可以如下计算计算，使得令计算，使得于是这里用到于是对应于3特征值的投影算符是检验由最小多项式计算矩阵的逆如果矩阵最小多项式的常数项不为0，这个矩阵就不含有0本征值，那么这个矩阵就存在唯一的逆矩

4、阵。那么矩阵的逆可以方便地用矩阵多项式表示出来。如果矩阵的最小多项式为，那么有逆矩阵比如矩阵的最小多项式为那么直接验证如果矩阵奇异，那么只能计算其广义逆矩阵。对应一个特征值为0的jordan块J，我们看到，明显地J可以表述为一个正交矩阵和一个投影矩阵之积，而且，这个正交矩阵还满足，这里是最小多项式中因子的次数。比如最小多项式，这个。因此对于，我们给出其广义逆矩阵。证明如下一般情况呢，我们可以通过投影算符投影到各自的特征空间上，然后再进行。这样用投影算符计算矩阵函数如果有矩阵函数我们可以将其约化到特征子空间中进行由于投影算子具有的很好的性质注意这里有如下约定因此注意函数常数

5、项理解为0次方项。因此矩阵方程则分解为每个特征子空间的矩阵方程在特征子空间中，又有Jordan块表达可以利用。