5.1 多项式矩阵.doc

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1、5.1多项式矩阵1.定义：某个矩阵所有的元素由多项式组成2.多项式矩阵的子式抽取矩阵的r行、r列，组成一个方阵，该方阵的行列式作为一个r阶子式。1阶子式：9个，2阶子式：9个，个，有非0者。3阶子式：1个，其为：多项式矩阵的阶次：如果的所有阶子式都为0，而存在不为0的r阶子式，则。在我们的例子中，rank()=2.3.多项式矩阵的展开（1）按的阶次展开：正则：如果的最高阶的系数矩阵为非奇异，则称为正则。本例中，奇异，故不是正则。（2）(i)先对的各列依据的阶次展开。记各列的最高次数为。(ii)把各列的展开拼起来。各列的最高项系数拼成一个矩阵。注意：各列的最高次数可能不相同。如果非奇异

2、，则称是列正则的。本例为列正则。（3）(i)先对的各行依据的阶次展开;记各行的最高次数为。(ii)把各行的展开拼起来。各行的最高项系数拼成一个矩阵。注意：各行的最高次数可能不相同。如果非奇异，则称是行正则的。本例不是行正则的。正则的则必是行正则和列正则的。3.行列式次数、展开式系数矩阵与正则性关系我们观察到下列情况：定理5.1.2（105页）：正则列正则行正则5.首先，我们需要下面的引理：证明定理5.1.3：存在性见教材唯一性：6.单模矩阵定理5.1.67.初等矩阵定义：（相抵等价）引入三种多项式矩阵：8.行列式因子所有k阶子式的最大公因子称为k阶行列式因子。根据拉普拉斯展开定理，的

3、任意k+1阶子式均可以写成的一些子式的线性组合，不难得到连续整除关系：9.初等变换不改变多项式矩阵的秩，行列式因子和不变因子定理5.1.8.初等变换不改变多项式矩阵的行列式因子、不变因子和秩。5.2Smith标准型目标：通过相抵变换，把变换为简单形式：1.引理5.2.1证明：（1）1.2.（2）。化为（1）中的情况了。2.引理5.2.23.Smith标准型例子：1.2.不是很容易求得。4.不变因子/行列式因子的方法求Smith标准型在相抵变换下，行列式因子不变。初等因子5．单模矩阵因为初等变换矩阵的拟也是初等变换矩阵。6.McMillen标准型5.2Jordan标准型1.相似变换：相

4、抵变换：定理5.3.1：证明：显见。（1）.，由于，故(iii)用到：因此，。应用引理5.1.4，得到。故必有F非奇异。（2）.２．分块矩阵相抵变换有传递性。相抵在块互换情况下保持：1.约当块的Smith标准型例子：另一个例子：1.约当型的求取：。1个非1的初等因子对应了一个约当块。因此，必定存在相似变换矩阵P，使得：。有两个关键问题需要回答：l实际上，约当标准型J不大可能通过上面的相抵变换的方法获得（太麻烦！3阶的还凑合，4阶以上几乎不可能了）。但我们需要求J，怎么办？l变换矩阵P怎么求取？2.求取J:(1)由于，故。通过求解，能得到所有的特征根。假设共有s个相异的特征根，这些特征

5、根的重数（代数重数）为而正是由这些根构成。这些特征根组成了的对角线元素，它们的次上对角元素为1，其余都为0。但的尺寸有多大呢？（1）确定的尺寸：易知：。由于P为非奇异矩阵，故，p=1,2,…(i)当不是特征根时，。对我们意义不大。(ii)当是特征根时，（），我们可以定出来有几个约当块基于构建：观察的秩：当时，是一个满秩矩阵。当时，是不是满秩矩阵，其秩比满秩差1。即，如果某个约当块以为其对角元，则其秩比满秩差1.注意：显见：所以代表了有几个约当块以为其对角元。那么这些约当块的尺寸呢？显见：这些以为其对角元的约当块的尺寸和为，即的代数重数。(iii)定出对应于的具体尺寸：由于，故观察：(

6、a).如果不是以为对角元，则(b).如果是以为对角元，则当时，当时，回顾由所有以为对角元、且尺寸大于的约当块贡献，每个这样的约当块贡献1。反过来，由可推断出有几个尺寸大于p的约当块。总结一下：由能定出有几个约当块以为对角元；由能定出这样的约当块中，有几个的尺寸大于1，至少为2.由能定出这样的约当块中，有几个的尺寸大于2，至少为3.依次类推。最后一定会碰到，就停下来。这样我们就定下来所有以为对角元的约当块的个数。比如，，定出有1个1阶块，1个2阶块，2个4阶块。这样，我们得到了约当标准型J.1.知道J后，我们需要求等价变换矩阵P使得。。通过例子，给出P的求法：。P有5列，将其写成：，这

7、5列相互线性无关。由可得：，。故是2阶增广特征向量，是1阶增光特征向量，是特征向量。观察：。由可以容易生成。（1）表示处于的零空间，该空间的维数为：。（2）表示不在的零空间中，该空间的维数为：。（3）易知：。我们找出一个属于，但不属于的非零向量，该向量有资格做，记为。（4）从可以构造出一个一阶增广特征向量：。显见（否则，，与矛盾）。进一步，与线性无关：假设。给其两边同乘以，则得；代入方程，由于，故得。（5）除了，我们还需要另外一个1阶增广特征向量，其必须与