等式证明方法简介

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1、數學競賽不等式證明方法簡介林信安老師編寫(甲)基本不等式與恆等式簡介1.不等式：(1)排序不等式：若有兩個有序數組a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn則a1b1+a2b2+…+anbn≥ab+ab+...+ab≥a1bn+a2bn−1+…+aibn+1−i+…+anb11j12j2njnj1,j2,j3,…,jn為1,2,3….,n的任一個排列。等號成立⇔a1=a2=…=an且b1=b2=b3=…=bn(2)切比雪夫不等式：若有兩個有序數組a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bnnnnn1則∑aibi≥(∑ai)(

2、∑bi)≥∑aibn+1−ii=1ni=1i=1i=1(3)平均不等式：設a1、a2、…、an均為正數，則H(n)≤G(n)≤A(n)≤Q(n)。等號成立⇔a1=a2=a3=…=ann其中H(n)=(調和平均)，G(n)=naa⋅⋅⋅a，(幾何平均)12n111++...+aaa12n2221a+a⋅⋅⋅+a12nA(n)=(a1+a2+…+an)(算術平均)，Q(n)=(平方平均)。nn(4)柯西不等式：若a1、a2、a3、…、an為n個實數，2222222則(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(a1b1+

3、a2b2+…+anbn)等號成立⇔bi=k⋅ai，i=1,2,3…,n(5)二次函數恆正、恆負的條件：22二次函數f(x)=ax+bx+c，D=b−4acf(x)恆正⇔a>0，D<0y=f(x)的圖形與x軸有交點⇔D≥0(6)冪平均不等式：設x1,x2,x3,…,xn為正數，且α<β，則1ααα1βββ1x+x+L+xx+x+L+x(12n)α(12n)β，等號成立⇔x≤1=x2=…=xnnn1n1nmm特別：α=10，可得(n∑xi

4、)≥(n∑xi)i=1i=1(7)Jenseninequality與廣義Jenseninequality+(a)若函數f(x)在區間[a,b]上凹口向上，且p1,p2,p3,….pn∈R，a1,a2,…,an∈[a,b]，p1f(a1)+p2f(a2)+…+pnf(an)p1a1+p2a2+…+pnan則≥f()，p1+p2+…+pnp1+p2+…+pn1f(a1)+f(an)+…+f(an)a1+a2+…+an當p1=p2=…=pn=時，≥f()nnn若函數凹口向下，則不等式變方向。nnm∑ai∑ai+i=1i=1m(b

5、)若a∈R，m∈R,m≥1，則≥()，等號成立⇔a1=a2=…=an。inn(若m<0亦成立，若00、β>0且α+β=1，則∑aibi≤(∑ai)(∑bi)i=1i=1i=11111pq特別：設α=、β=(p,q為正數)且+=1，上式中ai、bi分別用ai、bi來取代，可得pqpq11nnnppqq(∑ai)⋅(∑bi)≥∑ai⋅bii=1i=1i=12.恆等式：nn22(1)(∑ai)=∑ai+

6、2∑aiaji=1i=11≤ib⇔a−b>0，

7、a

8、>

9、b

10、⇔a>b2aa,b為正數，a>b⇔>1b(2)變數代換法：引進適當的變數代換，簡化不等式的型式。(3)分析綜合法：通過等式或不等式的變形轉化為容

11、易的、熟知的不等式，從而說明不等式的成立，或是從容易熟知的不等式入手，經過一系列的變形導出要證明的不等式。(4)數學歸納法：通常運用此方法證明與自然數有關的不等式。(5)放縮法：要證明A≤B，可先證明A≤C，再證明C≤B。使用此方法，如何找到一個適當的C，介於A、B之間是使用此方法的關鍵。(6)構造法：通常將要證明的不等式構造成相對應的圖形、函數及數列而加以證明。(丙)不等式證明與求級值實例講解下面我們列舉一些實例來說明如何使用一些技巧與方法來證明不等式與求極值。(A)全國與各分區的試題觀摩：22[例題1]設θ為銳角，試求

12、9secθ+4cscθ+12secθcscθ的最小值。(96台北市筆試一)33Ans：13+912+6183[例題2]設ΔABC三邊長分別為a,b,c，證明：222a+b+c163Δ222≥。(96嘉義區試題二)sinA+sinB+sinC9a+b+c[例題3]設ΔABC三邊長分別為a,b,c，且令s=