不等式证明方法.doc

《不等式证明方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、不等式证明方法（二）1、单调函数法当属于某区间，有，则单调上升；若，则单调下降。推广之，若证，只须证及即可，。例1、，求证：。证明：当时，，而故得。2、分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。例2、，且，求证：。证明：因为所以。3、几何法借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。例3、已知：，且，求证：。证明：以为斜边，为直角边作延长AB至D，使，延长AC至E，使，过C作AD的平行线交DE于F，

2、则∽，令，所以又，即，所以。4、放缩法（增减法、加强不等式法）在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例4、求证：。证明：令，则，所以。5、数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在

3、时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。例5、已知：，，，求证：。证明：（1）当时，，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立。根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立。6、换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。例6、已知：，求证：。证明：设，，则，（因为，），所以。7、三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。例7、已知：，，求证：。证明：设，则；设，则所以。8、等式法应用一些等式的结论

4、，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例8、为的三边长，求证：。证明：由海伦公式，其中。两边平方，移项整理得而，所以。一、选择题1.设0＜x＜1，则a=,b=1+x,c=中最大的一个是（）A.aB.bC.cD.不能确定2.若不等式x2－logax<0在内恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(0,1)D．(1，＋∞)3.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)A．2B.C．1D.4.不等式>0的解集是()A．[2，3]B.（2，3）C.[2，

5、4]D.（2，4）5.设,那么的最小值是A.2B.3C.4D.5二、填空题1.设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．2.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．3.设函数f(x)＝x2－1.对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．4.设x＞0,y＞0,A=,B=,则A，B的大小关系是__________________.三、解答题1．若x,y均为正数，且x+y＞2.，求证:与中至

6、少有一个小于2.2.已知an=+…+(n∈N*),求证：＜an＜对n∈N*恒成立.3.13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.