证明不等式的方法.doc

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1、不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等．要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：．作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和．③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．注意：若两个正数

2、作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．（2）综合法：由因导果．（3）分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．（4）反证法：正难则反．（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的．放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；④利用

3、常用结论：；；（程度大）；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知，可设；已知，可设（）；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不

4、等式在数学归纳法中专门研究．二、题型示例例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之．分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知．解：由题意得．证法一：（比较法）．，，．证法二：（放缩法），．证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD．，．例2已知a，b∈R，且a+b=1．求证：．证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）．证法二：（分析法）因为显然成立，

5、所以原不等式成立．点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件．证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）．证法四：（反证法）假设，则．由a+b=1，得，于是有．所以，这与矛盾．所以．证法五：（放缩法）∵∴左边＝＝右边．点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式．证法六：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边．当且仅当t=0时，等号成立．点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元．证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=（

6、a+2）2+（b+2）2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即．故．例3设实数x，y满足y+x2=0，0

7、求证：证明　∵∴1=∴又∵∴∴猜想关于n个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值如何？证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．比较

8、法是证明不等式最常用最基本的方法．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．换元