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2、薅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薁衿肁莅蚄蚂羇蒄莃袇袃肀蒆蚀蝿肀薈袅膈聿莈蚈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃艿薆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿腿莅蚂袅腿蒇袈螁芈薀蚁聿芇艿袆羅芆莂虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膆芃莆薀肂芃蒈螆羈节薁薈袄莁芀螄螀莀莃薇肈荿蒅螂肄莈蚇薅羀螆芃膃蚆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芁薀薇袃芀艿螃蝿袆莂薆蚅羅蒄螁羃羅膃薄衿羄芆蝿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螀肄莃螄蚆肃蒆薆羅肃膅螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节莆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆膆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芁薀薇袃芀艿螃蝿袆莂薆蚅羅蒄螁羃羅膃
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4、莂蚁肁莇蒁螃芆节蒀袅聿膈葿羈袂薇蒈螇肈蒃蒇袀羀荿蒇羂膆芅蒆蚁罿膁蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃羈膂节薂蚈羅芈薁袀芁膄薁羃肄蒂薀蚂艿莈蕿螅肂芄薈袇芇膀蚇罿肀葿蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螅羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿蝿螂羆蒈蝿袄膂蒄螈肇羄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇蒁螃芆节蒀袅聿膈葿羈袂薇蒈螇肈蒃蒇袀羀荿蒇羂膆芅蒆蚁罿膁蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃羈膂节薂蚈羅芈薁袀芁膄薁羃肄蒂薀蚂艿莈蕿螅肂芄薈袇芇膀蚇罿肀葿蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螅羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿蝿螂羆蒈蝿袄膂蒄螈肇羄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇蒁螃芆节蒀袅聿膈葿羈袂薇蒈螇肈蒃蒇袀羀荿蒇羂膆芅蒆蚁罿膁蒅
5、螄膄蒀薄袆羇莆薃羈膂节薂蚈羅芈薁袀芁膄薁羃肄蒂薀蚂艿莈蕿螅肂芄薈袇芇膀蚇罿肀葿蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螅羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿蝿螂羆蒈蝿袄膂蒄螈肇羄莀螇螆芀芆莃衿肃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇蒁螃不等式的证明方法康文数学系05级数学与应用数学(2)班指导老师:邢志涛摘要不等式是数学的基本问题之一.本文系统地总结了证明不等式的各种方法,首先介绍了证明不等式的初等方法,然后讨论了利用微积分证明不等式的各种方法.关键词不等式;比较法;分析法;综合法;微积分;1引言不等式的证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强,每种方法具有一定的使用性,并有一定的规律可循.本文先通过对例题的
6、分析,回顾了中学阶段不等式证明的初等方法.但用初等方法往往会造成复杂的运算过程,所以本文接着利用微积分的知识探究不等式的证明方法,并给出微分学和积分学在不等式的证明的具体应用,那就是在构造函数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值、定积分,从而归结出几种方便而又简捷的方法.2证明不等式的初等方法2.1比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序与运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法和商值比较法.(1)差值比较法差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“”.所以要证明,只要证明即可.这种方法的一般步骤为:①作差:考察不等
7、式两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是差值比较法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件和上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.这种方法可用于当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用差值比较法.例2.1设是的三边,求证：.证明:因为19所以.例2.2如果用千克白糖制出千克糖溶液,则其浓度为.若在上述溶液中再添加千克白糖,此时溶液的浓度增加到.
