不等式证明方法讲义 (2).doc

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1、16不等式的证明方法一、比较法1.求证：x2+3>3x证：∵(x2+3)-3x=∴x2+3>3x2.已知a,b,m都是正数，并且a0,b-a>0∴即：变式：若a>b，结果会怎样？若没有“aa2b3+a3b2证：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(

2、a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵a¹b，∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b24.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m¹n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：可得：∴∵S,m,n都是正数，且m¹n，∴t1-t2<0

3、即：t1b>0时，当b>a>0时，∴（其余部分布置作业）二、综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1已知a，b，c是不全相等的正数，求

4、证：证明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴例2已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，1616求证：证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点练习：1．设a,b,cÎR，1°求证：2°求证：3°若a+b=1,求证：

5、证：1°∵∴∴2°同理：，三式相加：3°由幂平均不等式：∴16162．a,b,cÎR,求证：1°2°3°证：1°法一：,,两式相乘即得法二：左边≥3+2+2+2=92°∵两式相乘即得3°由上题：∴即三、分析法1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：3．分析法的思维特点是：执果索因4．分析法的书写格式：要证明命题

6、B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真例1求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明1616展开得即因为成立，所以成立即证明了说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真例2证明：通过水管放水，当流

7、速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正

8、方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的练习：1.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立1616(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd