利用概率的方法证明等式与不等式

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1、用概率论的方法证明等式与不等式摘要：对于不同的数学领域，有着许许多多的证明等式与不等式的方法，但其中很多的的方法却非常的复杂繁琐，在这篇文章中，用概率论的方法来解决了不同的等式与不等式的问题，用概率论的方法来解决许多等式与不等式问题非常的简单有效，给我们带来了很多的便捷．关键词：概率论方法；不等式；恒等式．TheuseofprobabilityinimprovinginequalityandindentityAbstract:Todifferentmathematicspace,thereisvariousofwaystoimproveidentityandinequal

2、ity,butmostmethodareverycomplicate.Inthispaper,weuseprobabilitymethodtogiveasolutiontoseveralidentitiesandinequalities.Usingprobabilitytosovletheidentityandinequalityissimpleandeffective.It`stakeusagreatconvesnience.Keywords:probabilitymethod;inequality;identity.19目录1利用概率的方法证明恒等式11.1利用概率模

3、型的构造证明恒等式11.2利用常见的概率分布及其规范性证明恒等式41.3通过计算距的方法来证明恒等式71.4用概率的方法证明数学分析中的等式81.5小结92利用概率的方法证明不等式102.1利用概率模型的构造证明不等式102.2一些概率中的基础理论与性质112.3用一维随机变量证明的不等式122.4用二维随机变量证明的不等式152.5小结17谢辞1919引言：20世纪以来，起源于机会游戏的概率论飞速发展，已经成为一门理论严谨的数学科学，其内容丰富，结论深刻，有独特的思想和方法．概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，随机现象的普遍性使得概率论具有极其广泛的应用，其中，运用概

4、率论的思想方法来解决其他数学领域中的问题已成为概率论的一个很新颖的方向．等式与不等式的证明是数学中常见的问题，也是数学中的难点，本文主要探讨用概率论方法证明数学中的一些等式与不等式的问题，从而使得证明过程大大的简化．利用概率方法的关键，是根据不同的数学问题．巧妙建立随机模型，然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题．1利用概率的方法证明恒等式1.1利用概率模型的构造证明恒等式恒等式的证明思路较多，一般的可以从等式的左边到右边，从右边到左边，或从两边到中间．在这里利用概率的思想通过构建一个概率问题来对恒等式加以证明．先看以下例题：例1.1.1证：该等式的构造复杂，我们建立

5、如下概率模型：一个口袋中装有白球、黑球各1个，有放回地两次从中取球，每次取一球，将以上抽取过程记为一轮，如果第一轮两次取到的都是白球，则成功，否则失败；如果失败，则在口袋中加一个黑球，接着再进行第二轮抽球，如果两次取到的都是白球，则成功，否则失败；如果失败，则在口袋中加再一个黑球，进行第三轮抽球，如此不断继续下去，问成功的概率是多少?则有：第一轮成功的概率：；第一轮失败，第二轮成功的概率：；19第一轮，第二轮失败，第三轮成功的概率：　；...............所以成功的概率为：又有模型中每轮都失败的概率为：　　　于是成功的概率为，综上可知成功的概率为：则原式得证．由

6、上例可看出，巧妙地构造、利用概率模型来求解等式可以大大的减少用一般方法证明等式的运算量．根据等式的特点，巧妙地构造适当的概率模型，是用概率方法证明恒等式的关键所在．例1.1.2　　证：我们构造概率模型：从含有n个次品的N件产品中，设逐个不放回抽检件,则，设，则互不相容且，于是我们有：即：　　则原式可证．例1.1.3证明：19证：原式两边同时除以，得　由上式左端分母可构造模型如下．袋中有个不同的球，其中有个黑球和一个白球，从中任取个，记:，与构成样本空间的一个划分，，，由即，可得式，因此．由以上两例可看出，在用概率的方法解等式时，不仅要巧妙地构造概率模型，而且要善于观察和运

7、用等式中的”1“，也就是利用样本空间不同的划分且的性质来解决一些等式的证明．例1.1.4证：构建一个概率问题．设袋中装有个球，其中个白球、其余的为黑球．将球随机地无返回地取出，求第次才取到白球的概率．由设可知，袋中有个白球、个黑球，第次才取到白球的话就意味着前次取得的都是黑球．从而第次才取到白球的概率为，这里作为概率是求出来了，但是为了得到恒等式，可以把上面的问题延伸一下，就是看看可以取哪些值．因为袋中只有个黑球，若从开始总是取得黑球，直到把黑球取完为止，则最迟到第次一定会取得白球．也就是说上面的可以取从这些值．由上面已经得到