利用导数证明不等式的若干方法.pdf

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1、第20卷第2期太原教育学院学报Vo1.20No.22002年6月JOURNALOFTAIYUANINSTITUTEOFEDUCATIONJun.2002利用导数证明不等式的若干方法12尚肖飞,贾计荣(1.太原大学,山西太原030009;2.太原市教育学院,山西太原030001)摘要:利用导数证明不等式,不失为一种重要方法.利用导数证明不等式,通常要构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态.关键词:导数;不等式;辅助函数中图分类号:O172.1文献标识码:B文章编号:1008-8601(2002)02-0

2、035-03不等式的证明,在初等数学里已介绍过若干种方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等.然而,有些不等式用初等数学方法是很难证明的,但用导数证明却相对较容易些.利用导数证明不等式,通常需要构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态.一、利用微分中值定理证明不等式2x例1.如果0

3、,x〕(0

4、一般步骤是:第一步:分析要证明的不等式,通过适当的变形后,选取辅助f(b)-f(a)函数f(x)和区间〔a,b〕.第二步:根据拉格朗日中值定理得到=f′(N).第三步:根据b-a导函数f′(x)在(a,b)上的单调性,把f′(N)作适当放大和缩小,从而推证要证明的不等式.利用拉格朗日中值定理,一般要考虑导函数f′(x)的单调性,但有时不一定要求导函数具有单调性,如果能断定导函数在所讨论的区间上不变号,从而确定函数的单调性,也可以推证出不等式.二、利用函数的单调性2例2.证明:当x>1时,有ln(x+1)>lnx·ln(x

5、+2).ln(x+1)ln(x+2)分析:只要把要证的不等式变形为>,lnxln(x+1)ln(x+1)然后把x相对固定看作常数,并令a=x,b=x+1选取辅助函数.f(x)=.lnxln(x+1)证:取辅助函数f(x)=(x>1),lnx收稿日期:2001-10-11作者简介:尚肖飞(1964-),男,山西永济人,太原大学讲师。—35—尚肖飞,贾计荣:利用导数证明不等式的若干方法lnxln(1+x)-x+1xxlnx-(x+1)ln(x+1)于是有f′(x)=2=2.lnxx(x+1)lnx由于1

6、nxf(x+1)即>,从而有ln(x+1)>lnxln(x+2).lnxln(x+1)解决这类问题首先要把证明的不等式变形为f(a)>f(b)的形式,(a,b是某区间I中的两点),从而构造辅助函数f(x).其次求出导函数f′(x),并判定其在区间I上的正负号.最后根据导函数f′(x)的正负号,确定函数f(x)在区间

7、I上的单调性,从而证明不等式f(a)>f(b).这种方法,选取的辅助函数在所考虑的区间上都是单调的.如果构造的辅助函数在所考虑的区间上不是单调的,那么证明方法就要适当的改变.三、利用函数的最大(小)值1pp例3.证明:若p>1,则对于〔0,1〕中的任意x有p-1≤x+(1-x)≤1.2pp证:构造函数f(x)=x+(1-x)(0≤x≤1),(p-1)(p-1)p-1p-1则有f′(x)=px-p(1-x)=p〔x-(1-x)〕.p-1p-11令f′(x)=0,可得x=(1-x),于是有x=1-x,从而求得x=.由于函数f

8、(x)在闭2区间〔0,1〕上连续,因而在闭区间〔0,1〕上有最小值和最大值.1由于函数f(x)在(0,1)内只有一个驻点,没有不可导点,又函数f(x)在驻点x=和区间211p1p1端点(x=0和x=1)的函数值为f()=()+(1-)=p-1,f(0)=f(1)=1.所以f(x)222211在〔0,1〕上的最小值为p