利用均值不等式证明不等式

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1、.1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设是n个正实数，记它们分别称为n个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：.等号成立的充要条件是。先证......证法三：上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。例1：求证下列不等式：（1），（2）（3），其中......证明（1）当且仅当，即取等号。证明（2）∴证明（3），同理，三式相加得另一方面，同理，三式相加得说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3

2、）中累加的方法是常用的处理手段。例2：若且，求证：证明：左边例3：已知是正数，满足求证：（89年联赛试题）证明：，同理：，…，将以上式子相乘即得证。例4：，求证：证明：由有......显然上式不可能取等号，故原不等式成立。说明：注意到的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含的均值不等式。例5：若，求证：证明：由有∵，∴上式不可能取等号。故原不等式得证。例6：设是1，2，…n的一个排列，求证：证明：∵是1，2，…n的一个排列∴于是=......而所以说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上的

3、变形处理。例7：设a,b,c为正实数，求证：证明：注：本题问题中由可以看得出给了均值定理的提示：，构造均值定理是本题的关键。例8：,求证:证明左边=.注:本题多次利用了均值不等式......本题也可以由,再处理.例9：已知求证：分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。证明：①同理可得②③将①、②、③三个零件不等式相加，得注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。例10：如图△ABC及其内接△DEF分原三角形所得△AEF、△BDF、△CDE中，至少有一个三角形的面

4、积不大于原△ABC面积的（这里所指△ABC的内接三角形DEF，是顶点D、E、F分别在△ABC三条边上的三角形）证明：如图，设△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，且AE=e，AF=f，BD=m，BF=n，DC=p，EC=q，逆用公式，并注意到,于是有......   ，   ，   ，   更注意到     若S△CDE、S△AEF、S△BDF皆大于S△ABC的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。例11：已知，，，求证：证明：令，则，且∴∴∴说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了

5、已知条件与结论表达式中变量的关系。例12;设，求证：，其中都是非负整数，且分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：，即先证明......，该不等式关于轮换对称，不妨设，则左－右，故式成立进一步分析发现，式本身无助于原不等式的证明，其证明方法也不能推广到原不等式，故需重新考虑式的具有启发原不等式证明的其它证法。考虑常用不等式证明的方法发现，式可以利用“均值不等式”或证，即同理：以上三个式相加即得式。运用此法再考虑原一般问题就简单多了，仿上，以上三个式相加即得待证不等式。例13:设锐角满足，求证：分析与解：由已知，立即联想到长方体得对角线公式：，令，以为棱构造长方体，则易知：，同

6、理：，......上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结论不等式中观察到什么呢？由，即是三个不等式相乘的结果，就可以再变化为：，这样也无需构造长方体模型，而采用下面的证法：由，知都是锐角，同理：，将上面三个不等式两边分别相乘，即得待证不等式通过上例的求解分析过程，我们可以看到问题的本质.例14：设，求证：证明令，则分两种情形：（1）时，.（2）时，.点评注意到，故先作代换，使的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例15：设为正实数，且满足1求证：证明：由均值不等式得：从而......同理各式相加得又由题设得代入上式即得。

7、说明：本题充分利用了等号成立的条件是“”进行代数式的变形，借助1进行消元，使问题得以解决。所以,不等式得证.例16：设且1.求证：证明：①......由均值不等式得，，.将以上三个不等式相加得因此，所证不等式成立。注：本题待证的不等式为非齐次不等式，先利用条件“”，将其转化为齐次不等式①，再利用均值不等式使问题获解。例:17：设a、b、c、d为正数，且求证：分析：本题属于非齐次不等式，且次数较高，