证明不等式方法探析

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1、第一章不等式的简介不等式的定义用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如，，，，等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如是超越不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“”“”连接的不等式称为非严格不

2、等式，或称广义不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为(其中不等号也可以为，，中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。不等式的最基本性质性质1：如果，那么；如果，那么；(对称性)　　性质2：如果，；那么；(传递性)　　性质3：如果，而z为任意实数或整式，那么；(加法则)　　性质4：如果，，那么；如果，，那么；(乘法则)　　性质5：如果，,那么；如果，，那么；27　　性质6：如果，，那么；(充分不必要条件)　　性质7：如果

3、，，那么；　　性质8：如果，那么.如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，下面将介绍一些重要的不等式。一些重要不等式1.3.1均值不等式以及其的变形：1、均值不等式：　　1、算术平均数：　　2、几何平均数：　　3、调和平均数：　　4、平方平均数：这四种平均数满足，其中.当且仅当时取“”号.2、几个均值不等式的变形：　　(1)对实数,，有，当且仅当时取“”号.　　(2)对非负实数,，有，当且仅当时取“”号.　　(3)对负实数,，有.　　(4)对实数,，有，当且仅当时取“”号.27　

4、　(5)对实数,，有，当且仅当时取“”号.　　(6)对实数，有，当且仅当时取“”号.　　(7)对实数，有，当且仅当时取“”号.　　(8)对非负数,，有，当且仅当时取“”号.(9)对实数，有，当且仅当时取“”号.1.3.2其它几个重要不等式1、绝对值不等式：(1)；(3)；(1).2、分数不等式：设分数,,,,的分母是正数，则()，其中与分别是个分数中的最小值与最大值，当所设各分数相等时等号成立.3、幂平均不等式：设，且，则有成立.　　当且仅当时取“”号.　加权的形式：27设，且，则有成立.当且仅当时取“”号

5、.特例：调和平均(-1次幂)，几何平均(0次幂)，算术平均(1次幂)，二次平均(2次幂)4、柯西不等式：对于任意实数和，恒有.当且仅当，即与()成比例时等号成立.5、排序不等式：设有两组数，满足，则有.当且仅当或时等号成立.6、琴生不等式：(1)设是定义在实数集上的函数，且对任意的，都有，则对任意的，.(2)设是定义在实数集上的函数，且对任意的，都有，则对任意的，.(3)设是定义在实数集上的函数，，且，都有，则对任意的，.27(4)设是定义在实数集上的函数，，且，都有，则对任意的，.7、切比雪夫不等式：(1

6、)若，，则(2)若，，则8、舒尔不等式：设,,是正数，为实数，则，仅当时等号成立.9、伯努利不等式：设，那么(1)当时，有；(2)当或时，有.10、Hölder不等式：令X=[]是的非负实数矩阵，正数满足，那么，等式成立当且仅当矩阵X的任何两列成比例或者有一全0列.27第二章几个简单的证明方法一、比较法：等价于；而等价于.即与的比较转化为与0或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法

7、与分析法：综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，

8、从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：要证，又已知(或易证)，则只要证，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；④利用常用结论：27；；（程度大）；（程度小）五、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，