不等式证明的探析

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1、不等式证明的探析摘要:不等式是中学数学的重要内容，并且还是难点。本文主要是根据不等式的题目形式多样，证明不等式的题目方法也灵活多样，技巧性，综合性强。本文根据学习中学数学方法和模式，针对不同类型的不等式提出了有效的证明策略，同时证明数学问题的方法也是多样的，从方法的本质入手，能证明符合一定条件的不等式。本文从基本不等式入手，介绍了不等式的基本性质，绝对值不等式，三角不等式，柯西不等式等。证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面•如与数列的结合，与“二次曲线”的结合

2、，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约。在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等.比较法是证明不等式最常用最基本的方法.分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是:正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则,即寻求解

3、题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有

4、的放矢，注意放缩适度.绍八种证明不等式的方法。通过典型例题，分析总结了证明不等式的基本方法和相应的适合条件。关键字：不等式证明方法条件1.1不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式•例如2x+2y»2兀y,sin兀51,ex>0,2兀<3,5x^5等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只耍有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg（l+

5、X）＞X是超越不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“〉”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“a”“W”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为…,z）＜G（x，y…z）（其中不等号也可以为V,2,＞,H中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。不等式是指表示不等关系的式子。它建立在实数可以比较大小的基础上，

6、它的主要性质有三条：①不等式的两边同时加上或减去相同的一个数，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等式的方向不变;③不等式的两边同时除以或除以同一个负数，不等式的方向改变。1.2不等式的最基本性质①如果兀〉y,那么yvx;如果yvx,那么兀〉y；②如果x〉y,y〉z;那么x>z;③如果x〉y,而z为任意实数或整式，那么兀+z〉y+z;④女口果兀〉y,z>0,那么xz>yz;如果兀〉y,zv0,那么xz05那么—>—果兀〉y,zv0,那么—.zzzz⑥如果x>y,

7、m>n,那么x+m>y--n（充分不必要条件）⑦如果x>y>0?m>n>09那么xm>yn.⑧如果x〉y〉0,那么x的斤次幕>y的〃次幕（〃为正数）如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式.1.3不等式的证明的方法不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.耍明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范I韦I.若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.1・3・1比较法作

8、差比较：A-B<0^A2x-2・证明：（1）因为兀（兀+2）—（兀+1）?=兀？+2兀一