不等式证明方法探究

《不等式证明方法探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、不等式证明方法探究Researchontheproofofmethodquality专业：数学与应用数学作者：李湘兵指导老师：赵海国湖南理工学院数学学院二o—二年五月岳阳摘要本文从不等式的定义以及一些相关的性质入手，归纳和总结了不等式的一些证明方法.关键词：比较法；换元法；放缩法；反正法AbstractThearticleintroducesthenatureofthemethodquality,stillthan,thearticlesummarizessomemethodsofInequalityforrea

2、ders.Keywords：Comparisonmethod；Methodofsubstitution；Scalinglaw；Inanycaselaw目录摘要IAbstractII0引言21不等式的定义和性质22不等式的证明方法3结束语14参考文献140引言证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等

3、式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反Z亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的冃的.通过不等式的基木知识、基木方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析儿何等各部分知识屮的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程屮，提高学生数学素质及创新意识.1不等式的

4、定义和性质1.1不等式的定义用不等号将两个解析式连接起来所成的式子.例如2兀+2沖2厂，sinxy,那么yvx；如果yvx,那么兀〉y；（对称性）（2）如果x>y,那么（传递性）⑶如果兀〉y,而z为任意实数或整式，那么兀+z>y+z

5、；（加法则）（4）如果x>y,z>0,那么xz>yz；如果x〉y,z<0,那么兀zy,z>0,那么—>—；如果兀>y,z<0,那么—<—；zzzz(5)如果兀〉y,m>n,那么x--m>y+n(充分不必要条件)；(6)女口果兀>y〉0,m>/?>0,那么xm>yrt；2不等式的证明方法2.1比较法比较法是证明不等式的一种最基木的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的•其难点在第二步的“变形”上，变形的H的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方

6、巴(1)作差比较法的理论依据有a>ba-b>0,aa-b=0.(2)作商比较法的理论依据有b>>bb(3)作差(商)比较法的步骤作差(商)T变形T判断符号(与1的大小)例1求证l+2x4>2x34-X2证明法一因为(1+2%4)—(2兀'+兀“)=2x3(兀一1)一(兀+1)(%-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-l)(2x3-2x+x-l)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)22(x+—)2+—>022所以法二从而有1+2/>2x3+x21+2x4-(2x3+x2)

7、=兀°—2尢'+兀2+兀4—2兀2+1=(x2-x)2+(x2-l)2>0+2x4>2x3+x2说明法一的变形主耍是因式分解，其难点在于分解2x3-x-l的因式，判断2x2+2x+l的符号除用配方法外，还可用判别式法(此法在后面再述)•证法二的变形主耍是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法•通过木例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的第二步变形.证明因为log(小)(Q+2刃log“(a+2)=1°g«,+A)(^+2^)-logu+2)«例2已矢fla>1,2>0,求证loga(a+2)>log

8、(a+A)(a+22)叽，+2f+呃“yJ呱川⑺+2竹2「log(“+2)(/+2必),「logg)(a+刃2=[——J0,Iog(a+X)(a+A)>0,从而有loga(a+2)>log(a+z)(a+22)说明观察不等式的特点，d+几充当了真数和底，联想到log“N=—进而用了作log.商比较法，作商比较法的变形主要是利用某