毕业设计与论文（不等式证明方法的探究）

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1、分类号:编号:毕业论文题目不等式证明方法的探究学院姓名专业数学与应用数学学号291010136研究类型理论研究指导教师捉交日期2013.03・2・不等式证明方法的探究（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水,741000）摘要：等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在数学领域的各个部分。有关证明不等式方法的探究一直缺乏系统的理论层面的提升。本文以初等数学、高等数学为工具，从各个方面对不等式的证明，提供了儿种有效的方法，对现在数学教育中提倡的沟通大学与中学的联系方面作了初步探索。关键词：不等式、数学归纳法、泰勒公式、中值定理一.不等式的概念：-1二.不等式的证明方法一11•比较法：一12.综合

2、法：一23•分析法：-34•数学归纳法:-45.反证法：-56.换元法:一67•放缩法:-78•利用单调函数法：-99•利用微分中值定理：-910、利用不等式定理：-1011、利用泰勒公式：-1012、利用函数的极值法:-1113、中值定理法:-1214•利用函数的凹凸性：-1215•利用定积分理论：-13小结:一14参考文献：-15一.不等式的概念:用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究.由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数。（1）用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式.（2）不等号＞或＜叫做

3、严格不等号，2或W叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）.例如表示“a＞b或a"有一个成立，”因此1$0或1W1都是真的.另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“工二.不等式的证明方法1.比较法：比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法.欲证（或A＜B）,可以直接将差式A-B与0比较大小；或者A,BeR-时，直接将商式△与1比较大小.B在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可

4、考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也可考虑用比较法.例1设。"为不等的实数，求证a4^6a2b2+b4>4ah(a2-^b2)证明因为a4+6a2b2+胪-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+戸)+(lab)1(a2+b2-2ab)2=(a-b)4>O(a^h)所以a4^6a2b2^b4>4ab(a2+b2)1•综合法:综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式•常利用不等式的性质或借助于现成的不等式.因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便.例2试证：若％吐〉0,则有a(b2+c2)+

5、b(c2+q2)+c(q2+/?2)>6abc证明:方法1因为(a-&)2>0,所以(a2+b2)>2ab.乂c>0,所以c(a2+b2)>2abc同理有a(h2+c2)>2ahc,b(c2+tz2)>2ahc由相同加法则，三式相加即得结论.方法2欲证不等式等价于/7、//1bcca(a一+—+—+—+—+—>6IcbJacJbaJ因为2+£、2,£+化2匸+竺2,三式相加，即得结论.cbacba说明:将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法.1•分析法:分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件(或充

6、分必要条件)，直至归结到已知条件或已知成立的结论为止.例3已知neN,n>1,求证1-111>1<111)1+-+-+•••+>——卜—+•••+一n+1<352/1-1;n<242n丿证明欲证不等式(1),只需证1>11)>(H+1)2/1-1;(242nJn1+—+-+・・・+35⑵式左边即n(1Hn—213⑵式右边即11

7、L•1•亠丄yi<1—J1LL•1•.亠II24Ifl2nn<2r十42nn<111、_+_+_+•••+一2<242n)+n—<42nJ比较⑶与⑷式，显然-+-+•••+'—+—+•••+—352/1-1462n可知要证(2)式成立，只需证—>—+—++—(?)

8、2242/1当“1时,(5)式成立;若归时,(5)式成立.贝!)仔+1时k+1kill11二_+_、_+_+・・・+——+222242k2k+21111=-+-+••・+一+242k2伙+1)即(5)式成立，结论得证.应用分析法的基本思路是“要O成立，只要召成立即可；要3成立，只要N成立…”，一直追溯到已知条件或己知的不等式为止.用形式符号表示出来，就是“A〜•••”・如果分析的每一步都是充分必要的，即“AoB”则更好.应该强调的是