不等式证明的若干种方法毕业设计

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1、不等式证明的若干种方法毕业设计目录1前言62利用常用方法证明不等式72.1比较法72.2综合法72.3分析法82.4换元法82.5增量代换法82.6反证法92.7放缩法92.8构造法102.9数学归纳法102.10判别式法。112.11导数法112.12利用幂级数展开式证明不等式122.13向量法122.14利用定积分性质证明不等式133利用函数的性质证明不等式144利用柯西不等式证明155利用均值不等式证明166利用施瓦茨不等式证明177利用中值定理法证明不等式187.1拉格朗日中值定理：187.2积分第一中值定理：188利

2、用詹森不等式证明1917致谢20参考文献211前言不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题型范围，是学生掌握不等式证明的关键所在。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足

3、轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志。172利用常用方法证明不等式2.1比较法所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。即通过“，，(为作差法)或，，(为作商法)。”来确定，大小关系的方法。例已知：，，求证：.分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明，故得.故原不等式成立。例设，求证：.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明因为，所以，.而，故．故原不等式成立。2.2综合法综合法就

4、是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。例已知且求证：．证：所以17两边同时乘得即．故原不等式成立。2.3分析法从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。例求证：．证即：因为因为为了证明原不等式成立，只需证明即即即故原不等式成立。2.4换元

5、法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。例－1≤－x≤．证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．则－x=－cos=sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．故原不等式成立。2.5增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。17例已知a，bR，且a＋

6、b=1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．证明：∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=＋t，b=－t，(tR)则(a＋2)＋(b＋2)=(＋t＋2)＋(－t＋2)=(t＋)＋(t－)=2t＋≥．∴(a＋2)＋(b＋2)≥．故原不等式成立。2.6反证法反证法的原理是：否定之否定等于肯定。反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。例已知求证：．证：假设成立则．即．．．．由此得，这是不可能的，得出矛盾。．故原不等式成立。2.7放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。

7、从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。例求证：证：有．17．所以．故原不等式成立。2.8构造法构造法是通过类比、联想、转化，合理的构造函数模型，从而使问题迎刃而解。过程简单，一目了然。例已知三角形ABC的三边长是a,b,c,且m为正数，求证：.证明：设显然函数在是增函数。a,b,c是三角形ABC的三边长.，，即，又．．.故原不等式成立。2.9数学归纳法证明有关自然数的不等式，可以采用数学归纳法来证明。1.验证取第一个数值时，不等式成立，2.假设取某一自然数时，不等式成立。（归纳假设）

8、，由此推演出取时，此不等式成立。17例求证：证：（1）当时，左边=1，右边=2不等式显然成立。（2）假设时，．则时，左边=．=．时不等式也成立.故原不等式成立。2.10判别式法。判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，函数解集的性质等特征来