不等式的证明方法与技巧

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1、不等式的证明方法与技巧-高等教育学论文不等式的证明方法与技巧德力根仓（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）摘要：不等式问题是数学常见问题，而不等式的证明是中学生在学习中的一个难点，本文论述了不等式证明常用方法和技巧，对于帮助中学生克服不等式证明这一难点有重要价值；同时对于提高中学生的数学思维水平、提高分析问题和解决问题的能力大有帮助.关键词：不等式；方法；技巧中图分类号：O122文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0006-03不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系，而不等式则是反映

2、这种关系的基本形式.在数学中，不等式是我们在学习中的一个重点和难点，其中不等式中的重点主要是证明不等式，解不等式以及不等式的应用三类问题.不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明和解不等式的根据.不等式的变换包括推出变换和等价变换两类.其实质是条件为结论的充分条件或必要条件这两种逻辑关系.其实解不等式的技巧就是等价转化思想的应用，其过程为一系列的转化过程，因此要加强思维的严谨性，并注意分类讨论思想的渗透.证明不等式的方法有比较法、综合法和分析法、反证法、换元法、分类讨论法、放缩法、数学归纳法、累次求极值法、函数法等.1比较

3、法其中比较法又可以分为比差和比商法，比差法即设有数a和b，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b=0，则a=b.比商法即设有数a和b且b≠0，若a/b1，则ab；若a/b1，则ab；若a/b=1，则a=b.得证.2综合法与分析法综合法与分析法也是很常用的两种方法，由于两者只是在思维过程的顺序有所不同，因此在这里我们放在一起来分析和讨论.综合法即是利用题设和基本不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所需要证明的不等式的方法；而分析法是从欲证不等式的结论出发，通过分析使这个不等式成立的条件，只要这些条件在题目中具备，

4、就可以断定原不等式成立.即得证.3反证法反证法即是先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理.也叫归谬法.事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明.上述的过程得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证.有时候反证法能够使我们得到意想不到的效果.与已知矛盾所以假设不成立原结论成立.4放缩法放缩法也是证明不等式常用

5、的并且行之有效的一种证明方法，其关键在于寻找中间变量C，通过C对A或B的放大或缩小使ACB成立，C在量A和B之间架起一座桥梁，通过C的过渡使A与B间接的建立起不等关系.例　已知n为正整数，证毕.5构造法构造法就是数学中通过数与数、数与形的关系来转化的方法，其中构造几何图形证明不等式是一种比较直观和简便的方法，此方法是利用构造图形的几何性质，通过图形比较明显的性质来直接的证明不等式的方法.6累次求极值法累次求极值法是求多元函数最值的一种方法，其是先将一些变量固定，对于较少变量求出最值，然后使另一些变量“活化”，当它们变化时，求

6、第一步求出的那些最值的最值，这样一步一步地求下去，得到题中所求的最值.7函数法函数法即是先构造自己所需要的函数，通过函数的单调性或值域或者函数的一些其它性质来证明不等式的一种方法，也是一种转化思想的应用.在不等式的学习中培养探究思维能力，作为一种观念，只要我们长期坚持，积极探讨，一定能大大提高我们的学习效率和探究思维能力，从而对所学知识窥之深，察之远.参考文献：〔1〕刘玉琏，等．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003．〔2〕张奠宙,张广祥．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社,2006．〔3〕王尚志,胡凤娟,

7、张忠明,王铮铮．“一元二次不等式”的定位和教学建议[J]．中学数学参考，2009．01-02:3-5．〔4〕万平方．在不等式教学中培养学生的探究思维能力[J]．中学数学参考，2007（07）:43-45．〔5〕陈明名,刘问斌．中学数学解题技巧[M]．北京：北京理工大学出版社．〔6〕张雄,李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2004．〔7〕余志英．不等式的证明方法[J]．数学教研，2000（04）:97-98．〔8〕徐文兵．不等式的证明方法与技巧[J]．数学通讯，2004（23）:35-37．