不等式证明的方法技巧

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1、关于三元不等式的一点总结在自主招生乃至数学竞赛中，我们往往会见到许多三元不等式，形式例如“，”的不等式不胜枚举，所以本节就专门来谈谈关于这类不等式的处理手段。由恒等式，再结合下面这个不等式：，可推出（*）即产生不等式①由（*）可进一步推：（*）所以又产生不等式，亦可写成：②从恒等式中我们又发现：即有不等式③结合①②③容易发现，既可以与和单独建立不等关系，又能和、混合建立不等式。进一步，我们若联系熟悉的不等式（证明交给读者自己）和舒尔不等式的下列4个变形：变形1我们把它简记为变形2我们把它简记为变形3我们把它简记为变形4我们把它简记为则又可以产生一大批新的三元不等式

2、，形成有力的证明桥梁！下面再介绍一种解决三元齐次轮换对称式的强有力工具-----舒尔分拆法！定理1（舒尔不等式的推广）证明：（1）（2）（3）由（1）（2）易知也成立。定理2三元齐三次轮换多项式可以唯一地表示为其中，，，。并且当时，。此定理的证明涉及到线性代数的知识，这里就不证明了。为了快速计算出待定系数，只要记住。定理3三元齐四次轮换多项式可以唯一地表示为其中，，，，。并且当时，。其中系数定理4三元齐五次轮换多项式可以唯一地表示为其中，，，，并且当时，。其中，，，，。（）例1设证明：先两端齐次化，证明即证明而由上面总结的熟悉不等式，显然成立。例2设且证明：证明：

3、题目中交代所以我们要活用常数，在原不等式左右都乘上3，左边以来代替，即这样我们就正好也凑到了熟悉不等式的形式，两边再同乘上3，得而我们本来就有所以原不等式就成立了！例3（1992年波兰数学竞赛题）证明：由总结的不等式②知，上式显然成立。例4（第25届国际奥赛试题）已知，证明：证明：运用舒尔分拆的前提必须是齐次和轮换对称！所以，先将不等式齐次化则根据舒尔分拆，令，则是齐三次轮换多项式，计算系数，我们有：所以同样根据舒尔分拆，我们有：所以即原不等式成立！例5（第41届国际奥赛试题）设求证：分析显然我们知道可以舒尔分拆来证，所以立马我们通分，得也即再整理化简得此时虽然有

4、这个条件，但是无法将上式齐次化，所以不能直接用舒尔分拆。考虑这个结构，如果，那么也是和的分式型，又常数的形式，这样处理有力于建立齐次式。证明：，令，于是原不等式等价于接下来因为是三元齐三次轮换多项式，所以用舒尔分拆易证上式成立。例6（2005年西部奥林匹克试题）设正实数。证明：证明：这个很好齐次化，等价于进行舒尔分拆，，，。所以。故原不等式成立！以上方法是证明一些三元不等式的有效方法，但不等式证明博大精深，法无定法，所以读者在证题中切不能胡乱套模式。另外有一点需要注意的是，舒尔分拆是解决三元齐次轮换多项式的手段，遇到非齐次或不轮换的，万万不可依葫芦画瓢！