分式不等式的证明方法与技巧

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1、36数学通讯2006年第18期分式不等式的证明方法与技巧刘康宁(西安铁一中,陕西710054)分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,的性质.也是竞赛命题的热点.其方法多样、涉及的知识面例21)(2004年北京市中学生数学竞赛试题)广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好已知abc≠0,求证:444题型.abc444+444+444证明分式不等式的基本方法和常用技巧主要有4a+b+c4b+c+a4c+a+b如下几种:≤1;221)利用非负实数的性质:a≥0(a∈R).2)(2004年吉林省数学竞赛试题)设ai>0(i=2)利用基本不等式

2、.均值不等式、柯西不等式、1,2,⋯,5),求证:排序不等式都是证明分式不等式的利器.a1a23)放缩法.对于某些分式不等式,抓住其特点,++⋯+a2+3a3+5a4+7a5a3+3a4+5a5+7a1将分子或分母进行适当地放缩处理,往往能达到意a55≥.想不到的效果.a1+3a2+5a3+7a4164)换元法.常用的换元手段主要有局部代换、讲解这两个不等式的共同特点都是轮换对整体代换、三角代换等.称的.对于1),可从左边的某一项入手,进行适当的5)构造法.构造函数、构造数列、构造对偶式、放缩变形;对于2),可考虑用柯西不等式,进行整体构造几

3、何模型等,都是证明分式不等式的有力工具.处理.例1设a,b,c均为正数,求证:1)因为4a4+b4+c4=2a4+a4+b4+a4+c442222abc≥2a+2ab+2ac,++>2.b+cc+aa+b44aa讲解注意到欲证不等式左边各项的形式相所以444≤42222=4a+b+c2a+2ab+2ac同,而右边为常数2,我们可从局部入手,先设法证2a222.2(a+b+c)a2a明>.42b+ca+b+cbb同理,444≤222,2224b+c+a2(a+b+c)由(b+c-a)≥0,得(b+c)+a≥2a(b+c).42222cc于是,(

4、a+b+c)=(b+c)+a+2a(b+c)444≤222.4c+a+b2(a+b+c)≥4a(b+c).相加,得14aa2a444从而≥,即≥.abcb+ca+b+cb+ca+b+c444+444+4444a+b+c4b+c+a4c+a+b同理b2b1,≥,≤.c+aa+b+c2c2c当且仅当a=b=c≠0时,上式等号成立.≥.a+ba+b+c2)记原不等式左边为A,则由柯西不等式,得以上三个不等式中的等号不能同时成立(否则,A[a1(a2+3a3+5a4+7a5)+a2(a3+3a4+5a5由b+c-a=c+a-b=a+b-c,推得a=b

5、=c+7a1)+⋯+a5(a1+3a2+5a3+7a4)]=0,矛盾).2≥(a1+a2+a3+a4+a5).以上三式相加,得52(ai)abc∑++>2.i=1b+cc+aa+b于是,有A≥.8∑aiaj说明以上证明中,我们主要应用了非负实数1≤i

6、j.c+ai=11≤i0),+5a4+7a5)+a2(a3+3a4+5a5+7a1)+⋯+a5(a1则+3a2+5a3+7a4)=8∑aiaj,这是我们应用柯z+x-yx+y-zy+z-x1≤i

7、等式的基础.222从而,由(1)得例3设a1,a2,⋯,an均为正数,求证:x+y-zy+z-xz+x-ya2a3=+,2+2+⋯+2z2x2y(a1+a2)(a1+a2+a3)x+yy+zz+xan1即=+-12<.zxy(a1+a2+⋯+an)a1yxzz讲解这是一个和式不等式,为了达到求和的=(+)+(+)-1xyxy目的,可将左边各项的分母放缩为相邻两项之积,通zzz(x+y)≥++1=+1过拆项来求和.xyxy因为a1,a2,⋯,an均为正数,所以有z(x+y)4z≥+1=+1.x+y2x+ya2a3()2+2+⋯2(a1+a2)(

8、a1+a2+a3)x+y42an令=t(t>0),则t≥+1,即t-t-4+2zt(a1+a2+⋯+an)a2a3≥0.注意到t>0,解得t≥1+17.<++⋯2a