中学不等式证明方法探究

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1、中学不等式证明方法探究摘要不等式，渗透在中学数学各个分支中，冇着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，耍依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合,它既是屮学数学教学屮的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而口证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家i起分享交流。木文通过对不等式的

2、进一步研究，同吋在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法來解决，而笔者则是通过另外的i种方法來解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.在证明不等式而，耍依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的

3、、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反z亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学索质及创新意识.1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变

4、形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据冇：a>b<^>a-b>a-b<0,a=b<^>a-b=0.2）作商比较法的理论依据有：b>Q,a>b—b3）作差（商）比较法的步骤：作差（商）T变形T判断符号（与1的大小）例1：求证：1+2x4>2x3+x2证明：法一:v(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-l)-(x+l)(x_1)=(x-l)(2x3-x-1)=(x-l)(2x3-2x+x-I)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+^)2+^]>022•*.1+2兀4n法二：1+2x4-(

5、2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x2-x)2+(x2-l)2>01+2x4>2x3+x2说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2x3-x-l的因式，判断2/+2x+l的符号除用配方法外，还可用判别式法(此法我们后面再述)。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者乂将其归纳为裂项法。通过木例，可以了解求并比较法的全貌，以及关键的第二步变形。例2：已矢口0>1,2>0,求证：loga(Q+/l)>10g(a+2)(d+2/l)nlogm(d+22)'止明：V；()：(G+丿)=l°g(E)S+22)•1昭(宀)a/「loggi)(a+22)+log(

6、Marlog(rt+A)a(a+22)w[J=l122J°g(加)«+2必)[2」°g(E)(a+刃爲

7、=[TJ0,・•・log(a+2)(a+22)0,求证：(1)aabh>baaha(,bh_a(2)a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b证明：(1)•・•a>b>c>0,乂a>b>0,.•上>1,a-/?>0b:.(~y-h>1,即

8、必亠,又•・•">0babha:.aabh>ahba(2)由(1)的结果，有aabb>ahba>O,bbcc>bccb>09ccaa>caac>0两边分别相乘得a2ab>ah+cb(,+cca+h2、综合法利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果”。例4：(1)己知a,b,c为不全相等的正数，求证：b+c—ac+a-ba+b-co++>3abc(2)已知a,b