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1、.中学不等式证明方法探究摘要不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。本文通过对不等式的进
2、一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法..证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、
3、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变形”上
4、，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据有：abab0,abab0,abab0.2）作商比较法的理论依据有：b0,aba1.b3）作差（商）比较法的步骤：作差（商）变形判断符号（与1的大小）例1：求证：12x42x3x2证明：法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2(2x22x1)(x1)2[2(x1)21]02212x42x3x2法二：12x4(2x3x2)..x42x3x2x42x21(x2x)2(x21)2012x42x3x2说明：法一的变形主要是
5、因式分解，其难点在于分解2x3x1的因式，判断2x22x1的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述）。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的第二步变形。例2：已知a1,0，求证：loga(a)log(a)(a2)log(a)(a2)2)?log(aa证明：log(a)(a)loga(a)log(a)(a2)log(a)a]2log(a)a(a2)2[2[2])(a2)2[log(a2a)]2[log(a)(a]2122又loga(a)0,log(a)(a2)loga(a).说明：观察不等式的特点，a充当
6、了真数和底，联想到logaN1，进而用了logNa作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等，我们再看：例3：若abc0，求证：（1）aabbbaab（2）a2ab2bc2cabcbaccab证明：（1）abc0，aabb(a)abbaabb又ab0,a01,abb(a)ab1,即aabb1,又abba0babbaaabbabba（2）由（1）的结果，有aabbabba0,bbccbccb0,ccaacaac0两边分别相乘得..aabb?bbcc?ccaaabba?bccb?caaca2ab2bc2cabcbaccab2、综合法利用某些证明过的不等式作为基础
7、，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果”。例4：（1）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：bcacababc3abc（2）已知a,b,c为不相等正数，且abc1，求证：abc111abc(ba)(cb)(ac)证明：（1）证法一：左式3abbccaa,b,c为不全相等的正数ba2b?a2abab同理：cb2,ca2bcac且上面三个等号不能同时成立，（ba)(c
