资源描述：
《中学数学不等式证明方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.中学不等式证明方法探究摘要不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不
2、等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法..证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤
3、，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问
4、题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据有：abab0,abab0,abab0.2）作商比较法的理论依据有：ab0,ab1.b3）作差（商）比较法的步骤：作差（商）变形判断符号（与1的大小）432例1：求证：12x2xx432证明：法一：(1
5、2x)(2xx)32x(x1)(x1)(x1)3(x1)(2xx1)3(x1)(2x2xx1)22(x1)(2x2x1)2121(x1)[2(x)]02243212x2xx432法二：12x(2xx)..43242x2xxx2x12222(xx)(x1)043212x2xx32说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2xx1的因式，判断2x2x1的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述）。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键
6、的第二步变形。例2：已知a1,0，求证：loga(a)log(a)(a2)log(a)(a2)证明：log(a)(a2)?log(a)aloga(a)log(a)(a2)log(a)a2log(a)a(a2)2[][]2222log(a)(a2a)2log(a)(a)2[][]122又loga(a)0,log(a)(a2)loga(a).1说明：观察不等式的特点，a充当了真数和底，联想到logaN，进而用了logNa作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等，我们再看：例3：若abc0
7、，求证：abab（1）abba2a2b2cbcacab（2）abcabcababaab证明：（1）abc0，()abbaba又ab0,1,ab0babaababba()1,即1,又ab0babababbaabab（2）由（1）的结果，有abbabccbcaacabab0,bcbc0,caca0两边分别相乘得..abbccabacbacab?bc?caab?bc?ca2a2b2cbcacababcabc2、综合法利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思
8、考路线是“由因导果”。例4：（1）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：bcacababc3abc（2）已知a,b,c为不相等正数，且abc1，111求证：abcabcbacbac证明：（1）证法一：左式()()()3abbccaa,b,c为不全相等的正数baba2?2ababcbca同理：2,2bcac且上面三个等号不能同时成立，bacbac
