正弦定理余弦定理在焦点三角形中的应用

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1、正弦定理、余弦定理在焦点三角形中的应用（已发表于2015年7,8期）（432700）湖北省广水市一中王道金类型一：处理顶角与离心率的关系问题例1.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，其离心率为，为椭圆上不在长轴上的任意一点，，证明：.方法：在中，由余弦定理，，结论成立.类型二：处理顶角与面积的关系问题例2.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不在长轴上的任意一点，，证明：.方法：在中，由余弦定理，变形得，解得，所以的面积.推广：设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上不在实轴上的任意一点，，则.类型三：处理底角与离心率的关系问题例3.设F1，F2分别为椭圆的左、

2、右焦点，其离心率为，为椭圆上不在长轴上的任意一点，，，试用表示.方法：在中，由正弦定理，变形得，所以.推广：设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，其离心率为，为双曲线上不在实轴上的任意一点，，，则.例4.设F为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，椭圆C上一点A关于原点对称的点为B，若,，求椭圆离心率的取值范围.方法：设为椭圆的左焦点，连，则由对称性知全等，，，，又，.类型四：处理焦半径长度之比问题例5.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过F2的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线的倾斜角为，如果，用和表示.方法：连结，，设椭圆的半焦距为，，中，，由余弦定理……①中……

3、②联立①②整理得，.变式：设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，过F2的直线与C相交于A、B两点，直线的倾斜角为，如果，用和表示为.例6.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，其离心率为，为椭圆上不在长轴上的任意一点，，证明：.方法：，所以由余弦定理得到，由离心率的定义变形即得.变式：设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，其离心率为，为双曲线上不在实轴上的任意一点，，，同理可以得到.类型五：处理圆锥曲线公共焦点三角形问题例7.（2014年湖北卷第9题）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.

4、3D.2方法：设，，，依据椭圆定义，椭圆的离心率，双曲线的离心率，则由正弦定理得到，当时取得等号，故选A.相关巩固练习：1.（2010年辽宁）：设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2的直线的倾斜角为，到直线的距离为.（1）求椭圆C的焦距.（2）如果,求椭圆C的方程.2.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，其离心率为，为椭圆上不在长轴上的任意一点，，若存在使得，求的取值范围.3.设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，求的面积.4.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，，，求.5.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，其离心率为，为椭圆上不在长轴上的

5、任意一点，，求的取值范围.联系方式：电话13886856682，邮箱397458023@qq.com