正弦定理余弦定理的应用.doc

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1、1．3正弦定理、余弦定理的应用课标解读1.巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点)2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)实际测量中的有关术语【问题导思】　小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，到达学校上课．1．小明的学校在家的哪个方向？【提示】　东南方向．2．能否用角度确定学校的方位？【提示】　能．名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角续表　　名称定义图示俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西

2、，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角测量问题例题1：　如图1－3－1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，图1－3－1在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20m，求山高CD.(精确到0.1m)【思路探究】　DC可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CD＝CB·sin60°.【自主解答】　由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，∴∠ABC＝90°－60°＝3

3、0°，∠ACB＝60°－45°＝15°，∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝135°，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝×≈47.3(m)．∴山高CD约为47.3m.规律方法1．本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键．2．测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题．变式训练如图1－3－2所示，空中有一气球C，图1－3－2在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为26

4、6米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】　设OC＝x，则OA＝x，OB＝x·tan60°＝x.在△AOB中，∠AOB＝90°＋60°＝150°，AB＝266，所以AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB＝x2＋3x2－2x·x·(－)＝7x2，所以x＝AB＝×266＝38(米)，所以气球离地(38＋1)米.航海问题例题2：甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】　画图→分析三角形满足条件→选择定理

5、列方程→求相关量→作答【自主解答】　如图所示：设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，∠BAC＝45°＋180°－105°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，(v)2＝(×9)2＋102－2××9×10×cos120°，整理得v＝21.又由正弦定理可知＝，∴sinB＝＝×sin120°＝，∴B≈21°47′.即B应以每小时21海里的速度，按东偏北45°＋21°47′＝66°47′的角度航行．规律方法1．根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解三角形的边长和角度，是解题的关键．2．有关角度问题，一般

6、要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，合理运用．变式训练在海岸A处发现在其北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船以10海里/时的速度追走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．【解】　由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为t小时，则CD＝10t，BD＝10t.∵在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°，∴BC＝＝＝.∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝.∵∠BAC＝120°，∴∠A

7、BC＝45°，∴BC与正北方向垂直，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵在△BCD中，由正弦定理得＝，所以sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°或∠BCD＝150°(舍去)，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝，∴10t＝，∴t＝，∴缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船，所需时间为小时.平面几何问题例题3：　如图1－3－3所示，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，a＜b，D是△ABC内一点，且A图1－3－3D＝a，∠ADB