正弦定理、余弦定理及其应用.doc

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1、§正弦定理、余弦定理及其简单应用§1正弦定理教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题.教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用.一、引言：在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数定义，可以由已知的边和角求出未知的边和角.那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理二、知识要点：1、任意三角形面积公式：在任意斜△ABC当中：S△ABC=2、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即（R为△ABC外接圆半径）证明：⑴直角三角形中：si

2、nA=，sinB=，sinC=1即:c=，c=，c=．∴==⑵斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得：==,证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴,同理=2R，＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于,由　+=两边同乘以单位向量得•(+)=•则•+•=•∴

3、

4、•

5、

6、cos90°+

7、

8、•

9、

10、cos(90°-C)=

11、

12、•

13、

14、cos(90°-A)22∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==3、正弦定理变通公式：4、正弦定理的应用，从理论上正弦定理可解决两类问题：⑴两角和任意一

15、边，求其它两边和一角；⑵两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.5、已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1、已知在.解：,∴由得:由得:例2、在22解：∵,∴例3、解：，例4、已知△ABC，BＤ为角B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化

16、到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线,∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC∵∠ADB＋∠BDC＝180°,∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴,∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用例5、已知△ABC中，(参

17、考优等生数学P34)解析：22四、课堂练习：1、在△ABC中，已知，则：a2，b2，c2有何关系.证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B,2cos2B＝cos2A＋cos2C,∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2成等差数列.2、已知△ABC中，S=，外接圆半径R=1，求abc.(参考优等生数学P34)解析：五、小结正弦定理，两种应用22§2余弦定理教学目的：1、掌

18、握正弦定理、余弦定理；2、使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用一、引入：在Rt△ABC中(若C=90°)有：，问题：一般的三角形中，三边a、b、c是否也存在某种关系呢？对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？二、讲解新课：引例：直角顶点为C的直角三角形ABC中三边存在如下关系：c2＝a2＋b2（勾股定理）方法1：（平面几何方法）探究：ABCabcDh(1)锐角三角形构造直角三角形，寻找

19、三角比.作AD⊥BC，垂足为D.设CD＝x，得BD＝a－x在Rt⊿ADC中，h2＝b2－x2；在Rt⊿ADB中，h2＝c2－(a－x)2∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2－c2＝2ax＝2abcosC则c2＝a2＋b2－2abcosC，同理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosBABCabcDh(2)钝角三角形构造直角三角形，寻找三角比.作AD⊥BC，垂足为D.设CD＝x，得BD＝x－a在Rt⊿ADC中，h2＝b2－x2；在Rt⊿ADB中，h2＝c2－(x－a)2∴b2－

20、x2＝c2－(x－a)2，余略结论：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA1、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：定理证明：方法2、坐标法推导余弦定理：证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：A(bcosC,bsinC),B(a,0),C(0,0)（用正弦