2011年最后一道高考题

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1、新乡市延津县第一高级中学数学论文教研组：高三数学组2011年高考理科数学全国卷函数题的另一种解法姓名：解永红2011年6月17日42011年高考理科数学全国卷函数题的另一种解法河南省延津县第一高级中学解永红453200在新课标高考数学试题中，压轴题的类型稳中有变，由传统的最后一个大题的最后一问变成了倒数第二个大题（第21题）。这是一道函数、不等式、导数的综合题。与往年的压轴题相比，本题的难度不算大。据统计，今年全省43万理科考生中，有248人此题得了12分，创造了近几年压轴题满分人数最多的历史记录。但是仍有大部分考生，此题失分严重，究其原因，部分考生对相关的数学概念理解不

2、够准确，运算能力差，不能在特定的时间将有关问题正确转化。当然，还有相当一部分考生，包括部分一线教师对新课标的高考理解不到位，认为此题将是非常难，在复习过程中过早的放弃这部分知识，也是考生失分的一个客观的原因。不管怎样，2011年的高考已经成为历史。下面我将应用参变量分离的方法给出本题的另外一种解法，希望对来年参加高考的广大考生的复习有所帮助。同时也给工作在教学一线的教师提供一份备课的资料。（2011年全国理科数学第21题）（本小题满分12分）已知函数曲线在点处得切线方程为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果当时，，求的取值范围。分析:本题主要考查了导数的运算，导数的几何意义。利用导数

3、研究函数的单调性、4最值。含参不等式的讨论以及转化与化归的数学思想，着重考查了考生的逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，是将函数、不等式、导数、最值等问题结合在一起的综合题。本题国标（国家标准）给出了一种传统的解法，解法详细，易懂。但是分类讨论是考生的薄弱环节，在考场上不一定能想起这种解法，退一步讲，就是想起来也不一定能算正确。下面我用参变量分离的方法来求解这道题目。其实，早在2008年，我就用参变量分离的方法求解过当年全国（Ⅰ）卷的函数题，后来这种方法在本人教学的过程中多次使用。要提醒的是，使用此方法，要让考生了解函数极限，罗必塔法则，这些知识在新课改中不是重点知

4、识，可以让学生自学。用此方法的最大好处是能够使考生自信，只要运算不出错，结果肯定能求对。解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点（1,1），故即；解得（Ⅱ）当，，解得，下面先求的最小值，==故令则，，4所以在上是增函数，在∞)上也是增函数故当时，当时，即时，<0,为减函数，当时，>0,为增函数。=即为即由于即的取值范围为∞,0]4