数字电路第二章逻辑代数基础

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1、第二章逻辑代数基础要求：熟练掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；逻辑问题的描述方法；逻辑函数的化简与变换。逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。逻辑代数(布尔代数）是按一定逻辑规律进行运算的代数。在逻辑代数中，变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值的意义，它代表事物矛盾双方的两种状态，是与非等。在逻辑代数中，等号只表示逻辑功能上的相同，而不表示数值相等。§１逻辑代数的三种基本运算一、逻辑变量与逻辑函数1、逻辑变量：逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B

2、、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。2、逻辑函数：逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。若输入逻辑变量A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为：二、三种基本运算(与、或、非）1、与运算(逻辑乘)只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。例如串联开关电

3、路中，只有在开关A和B都闭合的条件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为“与”逻辑。A、真值表：（输入与输出的关系表格)设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可用真值表来描述。B、与逻辑表达式：F=A·B注：符号“·”表示逻辑乘，常省去符号“·”。有些也采用∧、∩及&等符号来表示逻辑乘。C、逻辑符号：实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图所示：2、或运算(逻辑加)决定某一结果的所有条件中，只要有一个成立，结果就会发生。例如并联开关电路中，只要有一个开

4、关A或B闭合的条件下，灯F就亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为“或”逻辑。A、真值表：（输入与输出的关系表格)设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的或逻辑关系可用真值表来描述。B、或逻辑表达式：F=A+B注：或逻辑也称或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些也采用∨、∪等符号表示逻辑加。C、逻辑符号：实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图所示：3.非运算(逻辑反)非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例，在图示

5、的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。A、真值表:B、逻辑表达式:通常称A为原变量，A为反变量。C、逻辑符号：实现非逻辑的单元电路称为非门，其逻辑符号如图所示：§2逻辑代数的基本定律和规则一、基本定律1、变量和常量的关系式逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定义，可推得以下关系式。0-1律：A·0=0A+1=1自等律：A·1=AA+0=A重叠律：A·A=AA+A=A互补律：A·A=0A+A=12、与普通代数相似的定律交换律：A·B=B

6、·AA+B=B+A结合律：(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)分配律：A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如：证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。证：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)3、逻辑代数中的特殊定律反演律：还原律：反演律证明二、三个重要规则1.代入规则任何一个逻辑等

7、式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。因为逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值。AB000110111110111010001000例如：已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律。即：2、反演规则如果将逻辑函数式F中所有的算符“·”换成“+”，“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的就是F。F称为原函数F的反函数，或称为补函数。

8、反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。例A、B、注：运用反演规则时应注意两点：A、不能破坏原式的运算顺序——先算括号里的，然后按“先与后或”、从左到右的原则运算。B、在两个或两个以上变量上面的非号应保持不变。3、对偶规则A、如果将逻辑函数表达式F中所有的算符“·”换成“+”，“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F′(或F*)。例如：B、任何