《2007-X年全国硕士入学统考数学（一）试题及答案》

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1、2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）+（1）当x→0时，与x等价的无穷小量是x1+x(A)1-e.(B)ln1-x(C)1+x-1.(D)1-cosx.[Ｂ]xx+【分析】1-e=--(e1)～-x(x®0)121+1+x-1=(1+x)-1～x(x®0)2121+1-cosx～(x)=x(x®0)22因此选（Ｂ）1x（2）曲线y=+ln(1+e)渐进线的条数为x(A)０.(B)１.(C)２.(D)３.[Ｄ]【分析】只有间断点x=0．由于1xlim=l

2、im(+ln(1+e))=¥;故x=0为垂直渐进线.x®0x®0x1x又lim=lim(+ln(1+e))=0+=ln10,xx®-¥®-¥x故x®-¥时有水平渐进线y=0.xxyæö1ln(1)+ee又lim=limç÷+=0+=lim1,2xx®+¥xxx®+¥èøxxe®+¥1+x1xx1+elim(y-x)=lim(+ln(1+e)-lne)=0+limln=0,x®+¥x®+¥xx®+¥ex故x®+¥时有渐进线y=x.因此选(D).（3）如图,连续函数y=f(x)在区间[－3,－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，x在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为

3、2的上、下半圆周。设F(x)=òf(t)dt，则下列结论01正确的是3（A）F(3)=-F(-2)45(B)F(3)=F(2).43(C)F(-3)=F(2).45(D)F(-3)=-F(-2)4[C]1【分析】注意，大、小半圆的面积分别为p与p。4按定积分的几何意义知，当xÎ[0,2]时f(x)³0，当xÎ[2,3]时f(x)£0。3231p13ÞF(3)=òf(t)dt=òòf(t)dt+f(t)dt=(pp-=),002242421F(2)=òf(t)dt=p.02x因为f(x)为奇函数ÞF(x)=òf(t)dt为偶函数。0131ÞF(-3)=F(3)=pp,FF(-2)==(2).2

4、423因此F(-3)=F(2).选（C）4（4）设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是f(x)(A)若lim存在，则f(0)=0x®0xf(x)+f(-x)(B)若lim存在，则f(0)=0x®0xf(x)'(C)若lim存在，则f(0)=0存在x®0xf(x)-f(-x)'(D)若lim存在，则f(0)=0存.[C]x®0x【分析】设f(x)=x，则f(x)-f(-x)x--x'lim=lim=0存在，但f(0)不存在x®0xx®0x因此（D）是错误的。选（D）。2（5）设函数f(x)在（0，+∞）上具有二阶的导数，且f¢¢(0)>0令u=f(n)(n=1,2L)，则下列n结论正确

5、的是(A)若u>u,则{u}必收敛。(B)若u>u,则{u}必发散。12n12n(C)若u0(x>0)Þ¥fx()在（，0)＋单调上升。f(x)只有以下三种情况：ì<0,00,x>xî0Þf(x)在（0，x）↘，在[x,+¥)↗,又x>x>x时0010f(x)>f(x)+-f¢(x)(xx),111Þlimfx().=+¥x®+¥（2）对所有xÎ(0,+¥),f¢(x)>0Þf(x)在(0,+¥)↗且lim

6、f(x)=+¥.x®+¥（3）对"xÎ(0,+¥),f¢(x)<0,f(x）在（0，+¥）]，则或limf(x)$或limf(x)=-¥。x®+¥x®+¥13如，f(x)=Þf¢¢(x)=>0(x>0).3xxu=f(n)↘，limf(n)=0.nn®+¥13又如，f(x)=-xÞf¢¢(x)=>0(x>0),3xx1u=f(n)=-n,↘但limu=-¥.nnnn®+¥Þ(A),(B)不正确由（1），（2）Þ（C）不正确，而（D）正确。因此，选（D）。（6）设曲线L：f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和Ⅳ象限内的点N，G为L上从点M到点N的一段弧，则下

7、列积分小于零的是(A)òGf(x,y)dx.(B)òGf(x,y)dy.3(C)f(x,y)ds..(D)f¢(x,y)dx+f¢(x,y)dy.[D]òGòGxy【分析】记点Ｍ与Ｎ的坐标分别为(x,y),(x,y)MMNN将òf(x,y)=1.代入被积表达式得(B)òGf(x,y)dy=òGdy=yN-yM<0因为将òf(x,y)=1.求全微分得f¢¢(x,y)dx+=f(x,y)0dyxy因此选（Ｂ）（７