2003年全国硕士入学统考数学（四）试题及答案

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1、2003年全国硕士入学统考数学(四)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限=.【分析】本题属型未定式，化为指数函数求极限即可.【详解】==（2）=.【分析】对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有【详解】=====.（3）设a>0，而D表示全平面，则=.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】==（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=,则13=.【分析】应先化简，从AB=2A+B中确定.【详解】由AB=

2、2A+B,知AB-B=2A-2E+2E,即有，，，可见==.（5）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=-1.【分析】这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有====,于是有，即，解得由于A<0,故a=-1.（6）设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,,则=6.【分析】利用期望与相关系数的公式进行计算即可.13【详解】因为==4+=4+2二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线(A)仅有

3、水平渐近线.(B)仅有铅直渐近线.(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又有斜渐近线.[D]【分析】先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【详解】当时，极限均不存在，故不存在水平渐近线；又因为，，所以有斜渐近线y=x.另外，在x=0处无定义，且，可见x=0为铅直渐近线.故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数，其中在x=1处连续，则是f(x)在x=1处可导的(A)充分必要条件.（B）必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.[A]【分析】被积函数含

4、有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.【详解】因为，，可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是13(A)在处的导数等于零.（B）在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.[A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零,故应选(A).（4）设矩阵.已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A)2.(B)3.(C

5、)4.(D)5.[C]【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.【详解】因为矩阵A相似于B，于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩，秩(B-E)=秩，可见有秩(A-2E)+秩(A-E)=秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).（5）对于任意二事件A和B(A)若，则A,B一定独立.(B)若，则A,B有可能独立.(C)若，则A,B一定独立.(D)若，则A,B一定不独立.[B]【分析】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥

6、事件之间没有必然的互推关系.【详解】推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定独立，排除(A);若，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D)也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布.[C]【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(X,Y)服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.13【详解】只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X与Y不相关X与

7、Y独立，本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除(A);若X和Y都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y是否独立，可排除(B);同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三、（本题满分8分）设试补充定义f(0),使得f(x)在上连续.【详解】=-+=-=-=-=-由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题