第十章--统计、统计案例(10.3统计案例)

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1、第十章统计、统计案例10.3统计案例【高考目标定位】一、考纲点击1.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、热点提示1.本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法.在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想;2.本部分在高考中多为选择、填空题,也有可能出现解答题,都为中低档题.【考纲知识梳理】1.回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;(2)随机误差:线性回归模型用yb=xae++表示，其中ab和为模型

2、的未知数，e称为随机误差.(3)样本点的中心在具有线性相关关系的数据(,xyxy),(,),L,(,xy)中,回归方程的截距和斜率的1122nn最小二乘估计公式分别为:n∑()xxyyii−−()baˆ==i=1,.ˆyˆ−bˆxn2∑()xxi−i=1nn11其中x==∑∑xyii,,yxy(,)称为样本点的中心.nnii==11(4)相关系数n∑()xxyyii−−()i=1①r=;nn22∑∑()()xii−−xyyii==11②当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常

3、

4、r

5、大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.2.残差分析(1)总偏差平方和n2把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:∑()yyi−i=1(2)残差数据点和它回归直线上相应位置的差异()y−y是随机误差的效应,称eyy=−为iiiii残差.n2(3)残差平方和∑()yyii−.i=1n∑()y−y2ii2i=1(4)相关指数R=n2∑()yi−yi=12R的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,22R表示解释变量对预报变量变化的贡献率,R越接近于1,表示回归的效果越好.3.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值

6、”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.(2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{,}{,}xyx和y,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为11222×2列联表y1y2总计xabab+1xcdcd+2总计ac+bd+abcd+++22nadbc()−构造一个随机变量K=,其中abcd+++为样本容量.()abcdacbd++++()()()(3)独立性检验2利用随机变量K来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.222注:在独立性检验中经常由K得到观测值k,则k

7、=K是否成立？（K与k的关系并222不是k=K，k是K的观测值，或者说K是一个随机变量，它在a，b，c，d）取不2同值时，K可能不同，而k是取定一组数a，b，c，d后的一个确定的值.【考点精题精练】(一)线性回归分析※相关链接※1.首先利用散点图判断两个变量是否线性相关.2.求回归方程$ybxa=+$$.$$(1)线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.(2)回归方程$ybxa=$+$中的b$表示x增加1个单位时$y的变化量为b$.(3)可以利用回归方程$ybxa=+$$预报在x取某一个值时y的估计值.3.相关系数

8、r利用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱.4.建立回归模型的步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程$ybxa=+$$).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).(5)得出结果后分析残差是否异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否适合等.注:回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间

9、性.样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围,否则没有实用价值.※例题解析※〖例〗测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:(1)对变量yx与进行相关性检验;(2)如果yx与之间具有线性相关关系,求回归方程.(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.思路解析:(1)先根据已知计算相关系数r,判断是否具有相关关系.(2)再利用分工求出回归方程进行回归分析.解答:(1)1010102222xyx===66.8,67.01,4462.24,y≈4490.4,∑∑∑xii=44974,y=44941.93,xiyi=4484