3-8正弦定理、余弦定理应用

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1、第3模块第8节[知能演练]一、选择题1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　)A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析：如下图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．答案：C2．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则

2、塔高为(　　)A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．答案：C3．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向前走10m，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是(　　)A．10mB．15mC．

3、12mD．10m解析：如下图，设塔高AB＝h，在△ACD中，cos∠ACD＝＝－，所以∠ACD＝120°，所以4θ＝60°，AB＝10sin60°＝10×＝15m.答案：B4．△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则A的对边长为(　　)A．5　　　B．6　　　C．8　　　D．7解析：a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc①又cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc②又S△ABC＝bc·sinA＝10，∴bc＝40③由①②③可知a＝7.答案：D二、填空题5．一船以每小时15km的速

4、度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30km.答案：306．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．解析：如图：依题意有甲楼的高度AB＝20·tan60°＝20米，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝＝米，故乙楼的高度为CD＝20－＝米．答案：2

5、0米，米三、解答题7．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B

6、1中，由余弦定理B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10.因此，乙船的速度的大小为×60＝30(海里/小时)．即乙船每小时航行30海里．8．l1，l2，l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长；(2)如图，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求该正三角形的边

7、长；如果不能，说明理由．解：不妨设A∈l1，B∈l2，C∈l3.(1)∵A，C到直线l2的距离相等，∴l2过AC的中点M，且△ABC为正三角形，∴l2⊥AC，∴边长AC＝2AM＝2，故△ABC的边长为2.(2)设边长为a，BC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°<θ<60°，则BC与l2的夹角也为θ，AB与l2的夹角就是60°－θ，∴asinθ＝2，asin(60°－θ)＝1，两式相比，得sinθ＝2sin(60°－θ)，即sinθ＝cosθ－sinθ，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝，∴sinθ＝，∴a＝＝.[高考·模