正弦定理、余弦定理应用举例

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1、第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.【复习指导】1.本讲联系生活实例,体会建模过程,掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用,培养数学建模能力.  基础梳理1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯

2、角(如图(1)).(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏东60°等.(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.一个步骤解三角形应用题的一般步骤:(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计

3、算的要求等.两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.双基自测1.(人教A版教材习题改编)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=10

4、5°后,就可以计算出A,B两点的距离为(  ).A.50mB.50mC.25mD.m解析 由正弦定理得=,又∵B=30°∴AB===50(m).答案 A2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为(  ).A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°解析 根据仰角与俯角的定义易知α=β.答案 B3.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的(  ).A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析 如图.答案 B4.一

5、船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时(  ).A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析 如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的速度是=10(海里/时).答案 C5.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°

6、,则B,C间的距离是________海里.解析 由正弦定理,知=.解得BC=5(海里).答案 5  考向一 测量距离问题【例1】►如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.[审题视点]在△BCD中,求出BC,在△ABC中,求出AB.解 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC=a.∵∠BCD=30°,∠BDC=105°∴∠CBD=45°在△BCD中,由正弦定

7、理可得BC==a.在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为AB==a.(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.【训练1】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪

8、两点间距离相等,然后求B,D的距离.解 在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1km.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.又∵∠ABC=15°在△ABC中,=,所以AB==(km),同理,BD=(km).故B、D的距离为km.考向二 测量高度问题【例

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