正弦定理、余弦定理应用举例

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1、第7讲　正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．　　基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯

2、角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计

3、算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝10

4、5°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)．A．50mB．50mC．25mD.m解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°∴AB＝＝＝50(m)．答案　A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)．A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析　根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案　B3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)．A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析　如图．答案　B4．一

5、船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　)．A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案　C5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°

6、，则B，C间的距离是________海里．解析　由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)．答案　5　　考向一　测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．[审题视点]在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°在△BCD中，由正弦定

7、理可得BC＝＝a.在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪

8、两点间距离相等，然后求B，D的距离．解　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.又∵∠ABC＝15°在△ABC中，＝，所以AB＝＝(km)，同理，BD＝(km)．故B、D的距离为km.考向二　测量高度问题【例