正弦定理、余弦定理应用举例(I)

《正弦定理、余弦定理应用举例(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.7正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解基础知识自主学习两边和夹角(如a,b,C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C=180°,求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边

2、的对角（如a,b,A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北基础自测1.在

3、某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°，则∠BAC等于（）A.10°B.50°C.120°D.130°解析由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,∴∠BAC=60°+70°=130°.D2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°.B3.在△ABC中，AB=

4、3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）A.B.C.D.解析由余弦定理可得：B4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积则a的值为（）A.20B.25C.55D.49解析由S=bcsinA=220,得c=55.由余弦定理得a2=162+552-2×16×55×cos60°=2401,∴a=49.D5.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析2题型一与距离有关的问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠

5、ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.题型分类深度剖析解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得B求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.知能迁移1（2009·海南,宁夏理，17）为了测

6、量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.解方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).②第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2

7、、β2;A、B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理题型二与高度有关的问题某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.依题意画图，某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进，CD=40米，此时∠DBF=45°,从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB=AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD（或BC）.解如图所示，某人在C处，AB为

8、塔高，他沿CD前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB=30°，在△BCD